Уровень A I вариант a) {x-y=7, xy=-10; б) {x+2y=1, 2x+y²=-1; в) {x+y=4, x²-y²=8. II вариант a) {x+y=2, xy=-15; б) {2x+y=-1, x²+2y=3; в) {x-y=1, x²-y²=7. Уровень Б I вариант a) {x+2y=7, 2y²+xy=14; б) {(x-1)(y+3)=5, 3x-y=4; в) {x²+y²=13, xy=-6. II вариант a) {2x-y=2, 2x²-xy=6; б) {(x+2)(y+1)=12, x+2y=6; в) {x²+y²=10, xy=-3.

Привет! Сейчас мы разберем эти системы уравнений. Будь внимателен, и у тебя все получится!

Уровень А

I Вариант

a)

\[\begin{cases} x - y = 7 \\ xy = -10 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = y + 7

Подставим это во второе уравнение: (y + 7)y = -10

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: y² + 7y + 10 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = -2\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = -5\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = -2, то x = -2 + 7 = 5

Если y = -5, то x = -5 + 7 = 2

Ответ: (5, -2) и (2, -5)

б)

\[\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x + y^2 = -1 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 1 - 2y

Подставим это во второе уравнение: 2(1 - 2y) + y² = -1

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 2 - 4y + y² = -1

y² - 4y + 3 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 3, то x = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5

Если y = 1, то x = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1

Ответ: (-5, 3) и (-1, 1)

в)

\[\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}\]

Разложим второе уравнение как разность квадратов: (x + y)(x - y) = 8

Подставим первое уравнение во второе: 4(x - y) = 8

Тогда x - y = 2

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}\]

Сложим уравнения: 2x = 6, значит x = 3

Подставим x в первое уравнение: 3 + y = 4, значит y = 1

Ответ: (3, 1)

II Вариант

a)

\[\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = -15 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 2 - y

Подставим это во второе уравнение: (2 - y)y = -15

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 2y - y² = -15

y² - 2y - 15 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 5, то x = 2 - 5 = -3

Если y = -3, то x = 2 - (-3) = 5

Ответ: (-3, 5) и (5, -3)

б)

\[\begin{cases} 2x + y = -1 \\ x^2 + 2y = 3 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = -1 - 2x

Подставим это во второе уравнение: x² + 2(-1 - 2x) = 3

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: x² - 4x - 2 = 3

x² - 4x - 5 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 5, то y = -1 - 2(5) = -1 - 10 = -11

Если x = -1, то y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1

Ответ: (5, -11) и (-1, 1)

в)

\[\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}\]

Разложим второе уравнение как разность квадратов: (x - y)(x + y) = 7

Подставим первое уравнение во второе: 1(x + y) = 7

Тогда x + y = 7

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases}\]

Сложим уравнения: 2x = 8, значит x = 4

Подставим x в первое уравнение: 4 - y = 1, значит y = 3

Ответ: (4, 3)

Уровень Б

I Вариант

a)

\[\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 2y^2 + xy = 14 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 7 - 2y

Подставим это во второе уравнение: 2y² + (7 - 2y)y = 14

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 2y² + 7y - 2y² = 14

7y = 14

y = 2

Тогда x = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3

Ответ: (3, 2)

б)

\[\begin{cases} (x - 1)(y + 3) = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 3x - 4

Подставим это в первое уравнение: (x - 1)(3x - 4 + 3) = 5

(x - 1)(3x - 1) = 5

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 3x² - x - 3x + 1 = 5

3x² - 4x - 4 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = 2\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 2, то y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2

Если x = -2/3, то y = 3(-2/3) - 4 = -2 - 4 = -6

Ответ: (2, 2) и (-2/3, -6)

в)

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = -6 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = -6/x

Подставим это в первое уравнение: x² + (-6/x)² = 13

x² + 36/x² = 13

Умножим обе части на x²: x⁴ + 36 = 13x²

x⁴ - 13x² + 36 = 0

Пусть z = x², тогда z² - 13z + 36 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\]

\[z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9\]

\[z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4\]

Тогда x² = 9 или x² = 4

Если x² = 9, то x = 3 или x = -3

Если x² = 4, то x = 2 или x = -2

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 3, то y = -6/3 = -2

Если x = -3, то y = -6/(-3) = 2

Если x = 2, то y = -6/2 = -3

Если x = -2, то y = -6/(-2) = 3

Ответ: (3, -2), (-3, 2), (2, -3), (-2, 3)

II Вариант

a)

\[\begin{cases} 2x - y = 2 \\ 2x^2 - xy = 6 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 2x - 2

Подставим это во второе уравнение: 2x² - x(2x - 2) = 6

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 2x² - 2x² + 2x = 6

2x = 6

x = 3

Тогда y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4

Ответ: (3, 4)

б)

\[\begin{cases} (x + 2)(y + 1) = 12 \\ x + 2y = 6 \end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: x = 6 - 2y

Подставим это в первое уравнение: (6 - 2y + 2)(y + 1) = 12

(8 - 2y)(y + 1) = 12

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 8y + 8 - 2y² - 2y = 12

-2y² + 6y - 4 = 0

Разделим на -2: y² - 3y + 2 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 2, то x = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2

Если y = 1, то x = 6 - 2(1) = 6 - 2 = 4

Ответ: (2, 2) и (4, 1)

в)

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = -3 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = -3/x

Подставим это в первое уравнение: x² + (-3/x)² = 10

x² + 9/x² = 10

Умножим обе части на x²: x⁴ + 9 = 10x²

x⁴ - 10x² + 9 = 0

Пусть z = x², тогда z² - 10z + 9 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\]

\[z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9\]

\[z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1\]

Тогда x² = 9 или x² = 1

Если x² = 9, то x = 3 или x = -3

Если x² = 1, то x = 1 или x = -1

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 3, то y = -3/3 = -1

Если x = -3, то y = -3/(-3) = 1

Если x = 1, то y = -3/1 = -3

Если x = -1, то y = -3/(-1) = 3

Ответ: (3, -1), (-3, 1), (1, -3), (-1, 3)

Ты отлично справляешься! Не останавливайся на достигнутом!