Уровень С. С6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x-x² и y=2x.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 6x - x^2 \) и \( y = 2x \), сначала найдем точки пересечения этих графиков.

1. Приравняем уравнения: \( 6x - x^2 = 2x \)
2. Перенесем все члены в одну сторону: \( 6x - x^2 - 2x = 0 \)
3. Упростим: \( 4x - x^2 = 0 \)
4. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(4 - x) = 0 \)
5. Найдем корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \). Это пределы интегрирования.
6. Теперь найдем площадь, используя определенный интеграл. Верхняя функция - \( y = 6x - x^2 \), нижняя - \( y = 2x \).
7. Площадь \( S \) вычисляется по формуле: \( S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \), где \( f(x) \) - верхняя функция, \( g(x) \) - нижняя функция, \( a \) и \( b \) - пределы интегрирования.
8. Подставим значения: \( S = \int_{0}^{4} ((6x - x^2) - 2x) dx \)
9. Упростим подынтегральное выражение: \( S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx \)
10. Проинтегрируем: \( S = \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \)
11. Упростим: \( S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \)
12. Вычислим значение интеграла: \( S = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \)
13. \( S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 \)
14. \( S = 32 - \frac{64}{3} \)
15. Приведем к общему знаменателю: \( S = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \)
16. \( S = \frac{32}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна $$\frac{32}{3}$$ квадратных единиц.