11.26. Ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты 12,2 м/с², а ее радиус 8200 км. Определите скорость спутника, движущегося по круговой орбите вокруг этой планеты на высоте, равной радиусу планеты. 11.37. Найдите период обращения спутника, движущегося вокруг Луны вблизи ее поверхности, если средняя плотность Луны 3300 кг/м³. 11.35. Спутник движется вокруг планеты по орбите радиусом 6 · 10° м со скоростью 40 км/с. Какова плотность планеты, если ее радиус 4 · 108 м?

11.26.

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала запишем известные данные:

• Ускорение свободного падения на поверхности планеты: \[g = 12.2 \,\text{м/с}^2\]
• Радиус планеты: \[R = 8200 \,\text{км} = 8.2 \times 10^6 \,\text{м}\]
• Высота орбиты спутника над поверхностью планеты: \[h = R\]

Нам нужно найти скорость спутника, движущегося по круговой орбите.

Скорость спутника на круговой орбите можно найти по формуле:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

где:

• \[G\] — гравитационная постоянная (\[6.674 \times 10^{-11} \,\text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\])
• \[M\] — масса планеты
• \[r\] — радиус орбиты спутника (расстояние от центра планеты до спутника)

В нашем случае, радиус орбиты спутника равен:

\[r = R + h = R + R = 2R = 2 \times 8.2 \times 10^6 \,\text{м} = 1.64 \times 10^7 \,\text{м}\]

Ускорение свободного падения на поверхности планеты выражается формулой:

\[g = \frac{GM}{R^2}\]

Отсюда выразим массу планеты:

\[M = \frac{gR^2}{G}\]

Подставим это выражение для массы в формулу для скорости спутника:

\[v = \sqrt{\frac{G}{r} \cdot \frac{gR^2}{G}} = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}\]

Теперь подставим известные значения:

\[v = \sqrt{\frac{12.2 \,\text{м/с}^2 \cdot (8.2 \times 10^6 \,\text{м})^2}{1.64 \times 10^7 \,\text{м}}}\] \[v = \sqrt{\frac{12.2 \times (8.2 \times 10^6)^2}{1.64 \times 10^7}}\] \[v = \sqrt{\frac{12.2 \times 67.24 \times 10^{12}}{1.64 \times 10^7}}\] \[v = \sqrt{\frac{820.328 \times 10^{12}}{1.64 \times 10^7}}\] \[v = \sqrt{500.2 \times 10^5}\] \[v = \sqrt{5.002 \times 10^7}\] \[v \approx 7072.5 \,\text{м/с} \approx 7.07 \,\text{км/с}\]

Ответ: Приблизительная скорость спутника составляет 7.07 км/с.

---

11.37.

Чтобы найти период обращения спутника вокруг Луны, нам потребуется использовать следующие известные данные:

• Средняя плотность Луны: \[\rho = 3300 \,\text{кг/м}^3\]

Период обращения спутника вблизи поверхности Луны можно найти, используя формулу для периода обращения:

\[T = \frac{2\pi r}{v}\]

где:

• \[T\] — период обращения
• \[r\] — радиус орбиты (приблизительно равен радиусу Луны)
• \[v\] — скорость спутника на орбите

Скорость спутника на круговой орбите можно выразить как:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

где:

• \[G\] — гравитационная постоянная (\[6.674 \times 10^{-11} \,\text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\])
• \[M\] — масса Луны
• \[r\] — радиус Луны

Массу Луны можно выразить через её плотность и радиус:

\[M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставим это в формулу для скорости:

\[v = \sqrt{\frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{r}} = \sqrt{\frac{4}{3} G \pi \rho r^2}\]

Теперь подставим выражение для скорости в формулу для периода:

\[T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{4}{3} G \pi \rho r^2}} = 2\pi r \cdot \sqrt{\frac{3}{4G\pi \rho r^2}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^2 \cdot 3}{4G\pi \rho r^2}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\]

Теперь подставим известные значения:

\[T = \sqrt{\frac{3\pi}{6.674 \times 10^{-11} \,\text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 3300 \,\text{кг/м}^3}}\] \[T = \sqrt{\frac{3 \times 3.14159}{6.674 \times 10^{-11} \times 3300}}\] \[T = \sqrt{\frac{9.42477}{2.20242 \times 10^{-7}}}\] \[T = \sqrt{4.28 \times 10^7}\] \[T \approx 6542 \,\text{секунд} \approx 1.82 \,\text{часа}\]

Ответ: Период обращения спутника составляет примерно 1.82 часа.

---

11.35.

Давай решим эту задачу по шагам. Известные данные:

• Радиус орбиты спутника: \[r = 6 \cdot 10^9 \,\text{м}\]
• Скорость спутника: \[v = 40 \,\text{км/с} = 4 \cdot 10^4 \,\text{м/с}\]
• Радиус планеты: \[R = 4 \cdot 10^8 \,\text{м}\]

Чтобы найти плотность планеты, мы можем использовать формулу для скорости спутника на круговой орбите:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

Отсюда выразим массу планеты:

\[M = \frac{v^2 r}{G}\]

где:

• \[G\] — гравитационная постоянная (\[6.674 \times 10^{-11} \,\text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\])

Плотность планеты можно выразить через массу и объем:

\[\rho = \frac{M}{V}\]

Объем планеты (считаем, что планета сферическая):

\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]

Подставим выражения для массы и объема в формулу для плотности:

\[\rho = \frac{\frac{v^2 r}{G}}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{3v^2 r}{4 \pi G R^3}\]

Теперь подставим известные значения:

\[\rho = \frac{3 \cdot (4 \cdot 10^4 \,\text{м/с})^2 \cdot 6 \cdot 10^9 \,\text{м}}{4 \cdot \pi \cdot 6.674 \times 10^{-11} \,\text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot (4 \cdot 10^8 \,\text{м})^3}\] \[\rho = \frac{3 \cdot 16 \cdot 10^8 \cdot 6 \cdot 10^9}{4 \cdot 3.14159 \cdot 6.674 \times 10^{-11} \cdot 64 \cdot 10^{24}}\] \[\rho = \frac{288 \cdot 10^{17}}{536.17 \times 10^{13}}\] \[\rho \approx 0.537 \cdot 10^4 \,\text{кг/м}^3 = 5370 \,\text{кг/м}^3\]

Ответ: Плотность планеты составляет примерно 5370 кг/м³.

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!