Контрольные задания > Условие задачи: Дано: ∠ABD = ∠ACD = 90°, ED = AE, AD - общая сторона. Найти: Δ ABD = Δ ACD.
Вопрос:

Условие задачи: Дано: ∠ABD = ∠ACD = 90°, ED = AE, AD - общая сторона. Найти: Δ ABD = Δ ACD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Дано:

  • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]
  • \[ ED = AE \]
  • \[ AD \text{ - общая сторона} \]

Найти:

  • \[ \triangle ABD = \triangle ACD \]

Решение:

Чтобы доказать равенство двух треугольников, нам нужно найти соответствующие равные стороны и углы.

  1. Равные стороны:
    • \[ AD = AD \]
    (Это общая сторона для обоих треугольников, что уже дано в условии).
  2. Равные углы:
    • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]
    (Это дано в условии задачи, оба угла прямые).
  3. Равные отрезки:
    • \[ ED = AE \]
    (Это тоже дано в условии задачи).

    4. Теперь посмотрим на треугольники Δ ABD и Δ ACD. У нас есть:

    • Общая сторона AD.
    • Углы ∠ABD и ∠ACD равны 90°.

    Для доказательства равенства треугольников по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) нам нужно найти еще одну пару равных сторон. У нас есть AE = ED, но эти отрезки не являются сторонами треугольников Δ ABD и Δ ACD. Они являются частями сторон AB и AC (или связаны с ними).

    Давайте рассмотрим информацию внимательнее:

    • \[ ED = AE \]
    • \[ AD \text{ - общая сторона} \]
    • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]

    Чтобы доказать, что Δ ABD = Δ ACD, нам нужно применить один из признаков равенства треугольников:

    1. По двум сторонам и углу между ними.
    2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
    3. По трем сторонам.

    Из данных нам известно:

    • AD - общая гипотенуза (так как углы при B и C прямые).
    • ∠ABD = ∠ACD = 90°.
    • AE = ED.

    Но отрезки AE и ED не относятся напрямую к сторонам AB, BD, AC, CD. Они, скорее всего, относятся к высотам или медианам, проведенным из точек B и C к сторонам AD.

    Давайте предположим, что E - это точка на стороне AD. Тогда AE и ED - это части стороны AD. Если E лежит на AD, то AD = AE + ED. Но это не помогает нам напрямую доказать равенство треугольников.

    Пересмотрим условие. Возможно, E - точка на гипотенузе BD в треугольнике ABD, и на гипотенузе CD в треугольнике ACD. Тогда AE и ED - это отрезки, соединяющие вершины A и D с точкой E.

    Однако, если AE = ED, и E - некоторая точка, это не дает нам равенства сторон AB и AC, или BD и CD.

    Рассмотрим другую возможность: E - точка на стороне AB (или ее продолжении) и на стороне AC (или ее продолжении), и AE = ED. Это также маловероятно.

    Самое логичное предположение, исходя из рисунка:

    E - точка на стороне AB, и AE = EB. Тогда AE = ED не имеет смысла.

    E - точка на стороне CD, и CE = ED. Тогда AE = ED не имеет смысла.

    E - точка на стороне AC, и AE = EC. Тогда AE = ED не имеет смысла.

    Вернемся к признакам равенства треугольников:

    У нас есть прямоугольные треугольники. По признаку равенства прямоугольных треугольников:

    1. По двум катетам.
    2. По катету и гипотенузе.

    Мы знаем, что AD - общая гипотенуза.

    Если предположить, что AE и ED - это катеты, то это неверно, так как они не являются сторонами треугольников, и углы при A и D не обязательно прямые.

    Давайте предположим, что E - это точка на стороне AC, и AE = EC. И ED - это другая информация.

    Если AE = ED, и AD - общая гипотенуза, ∠ABD = ∠ACD = 90°.

    Рассмотрим треугольники Δ ABE и Δ CDE.

    На рисунке видно, что AE = EC (отмечено одинаковыми штрихами).

    И ED = EB (также отмечено одинаковыми штрихами).

    Тогда, если AE = EC и ED = EB, это НЕ доказывает равенство Δ ABD и Δ ACD.

    Вернемся к условию: ED = AE.

    Рисунок может быть misleading. Попробуем использовать данные, как они есть:

    1. \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]
    2. \[ AD \text{ - общая гипотенуза} \]
    3. \[ AE = ED \]

    Если E - точка на стороне AC, и AE = ED, то это очень странное условие.

    Предположим, что E - это середина AC. Тогда AE = EC.

    Если E - середина AC, то AE = EC. И дано ED = AE. Значит, ED = AE = EC.

    Теперь посмотрим на треугольники Δ ABD и Δ ACD.

    У нас есть:

    • \[ AD \text{ - общая сторона} \]
    • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]

    Нам нужно доказать равенство либо катетов (AB = AC), либо других сторон (BD = CD).

    Из условия AE = ED, и если E - середина AC (AE = EC), то ED = AE = EC.

    Рассмотрим треугольник Δ ADE. Он равнобедренный, так как AE = ED.

    Теперь рассмотрим треугольник Δ BCD.

    Если E - середина AC, то BE - медиана в Δ ABC.

    Если AE = ED, и E лежит на AC, то AD - это гипотенуза.

    Если E - точка на AC, и AE = ED, то это никак не помогает доказать равенство треугольников ABD и ACD, если только E не имеет специфического положения.

    Давайте еще раз посмотрим на рисунок. На рисунке явно видно, что AE = EC и EB = ED. Если это так, то четырёхугольник ABCD - параллелограмм, потому что его диагонали (AC и BD) точкой пересечения E делятся пополам. Но в параллелограмме углы не обязательно прямые.

    Если AC и BD пересекаются в точке E, и AE = EC, EB = ED, то ABCD - параллелограмм. Но в условии сказано ∠ABD = ∠ACD = 90°. Это значит, что угол B и угол C прямые. Если ABCD - параллелограмм и у него есть прямой угол, то он прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны: AC = BD. И они делятся пополам: AE = EC = BE = ED.

    Если ABCD - прямоугольник, то AB = CD и AC = BD.

    В этом случае:

    • Δ ABD - прямоугольный треугольник с катетами AB и BD, гипотенузой AD.
    • Δ ACD - прямоугольный треугольник с катетами AC и CD, гипотенузой AD.

    Из того, что ABCD - прямоугольник, мы знаем, что AB = CD.

    Тогда в Δ ABD и Δ ACD:

    • AB = CD (катеты равны).
    • AD = AD (общая гипотенуза).

    По двум катетам и гипотенузе, или по катету и гипотенузе, эти треугольники равны.

    Однако, в условии сказано ED = AE, а не EB = ED и AE = EC.

    Если ED = AE, и AD - гипотенуза, ∠ABD = 90°, ∠ACD = 90°.

    Это означает, что точки B и C лежат на окружности с диаметром AD.

    Тогда AE = ED означает, что E - середина AD.

    Если E - середина AD, то AE = ED.

    Мы имеем:

    • \[ \angle ABD = 90^{\circ} \]
    • \[ \angle ACD = 90^{\circ} \]
    • \[ AD \text{ - общая гипотенуза} \]
    • \[ AE = ED \] (E - середина AD).

    В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Значит, BE (медиана к гипотенузе AD в Δ ABD) = AE = ED = 1/2 AD.

    И CE (медиана к гипотенузе AD в Δ ACD) = AE = ED = 1/2 AD.

    Следовательно, BE = CE = AE = ED = 1/2 AD.

    Теперь у нас есть:

    • \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]
    • \[ AD = AD \] (общая гипотенуза).
    • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]
    • \[ BE = CE \] (так как обе равны 1/2 AD).

    Это не помогает напрямую доказать равенство Δ ABD и Δ ACD.

    Давайте вернемся к использованию AE = ED, и E - середина AD.

    В Δ ABD:

    • \[ \text{Катет AB} \]
    • \[ \text{Катет BD} \]
    • \[ \text{Гипотенуза AD} \]
    • \[ BE = \frac{1}{2} AD \]

    В Δ ACD:

    • \[ \text{Катет AC} \]
    • \[ \text{Катет CD} \]
    • \[ \text{Гипотенуза AD} \]
    • \[ CE = \frac{1}{2} AD \]

    Из этого следует, что BE = CE.

    Теперь рассмотрим треугольники Δ ABD и Δ ACD.

    Если AE = ED, и E - середина AD.

    И ∠ABD = ∠ACD = 90°.

    Нам нужно доказать, что AB = AC или BD = CD.

    Если E - середина AD, то BE и CE - медианы к гипотенузе. Мы знаем, что BE = CE = 1/2 AD.

    Рассмотрим треугольники Δ ABE и Δ DCE.

    \[ AE = ED \] (дано).

    \[ BE = CE \] (доказано выше, медианы к гипотенузе равны).

    \[ \angle AEB = \angle DEC \] (вертикальные углы).

    По двум сторонам и углу между ними, Δ ABE = Δ DCE.

    Из равенства этих треугольников следует, что AB = DC.

    Теперь у нас есть:

    • \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]
    • \[ AB = DC \] (только что доказали).
    • \[ AD = AD \] (общая сторона/гипотенуза).
    • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]

    У нас есть равная сторона (AB = DC), но это не стороны, которые прилежат к равному углу AD.

    Давайте попробуем использовать другой признак.

    Рассмотрим треугольники Δ ABC и Δ DCB.

    Если AB = DC.

    ∠ABC = 90° (это угол ∠ABD, так как E лежит на AD).

    ∠BCD = 90° (это угол ∠ACD).

    BC - общая сторона.

    По двум сторонам и углу между ними (катет, гипотенуза, но у нас тут не так).

    По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе):

    • \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]
    • \[ \text{Катет } AB \text{ и гипотенуза } AD \]
    • \[ \text{Катет } AC \text{ и гипотенуза } AD \]

    Нам нужно доказать, что AB = AC или BD = CD.

    Мы доказали, что AB = DC.

    Теперь рассмотрим треугольник Δ BCD. BC - сторона.

    Если AB = DC, то мы не можем напрямую утверждать равенство Δ ABD и Δ ACD.

    Пересмотрим доказательство равенства Δ ABE и Δ DCE:

    • \[ AE = ED \] (дано).
    • \[ BE = CE \] (медианы к гипотенузе в прямоугольных треугольниках).
    • \[ \angle AEB = \angle DEC \] (вертикальные углы).

    По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABE = \triangle DCE \]

    Отсюда следует:

    • \[ AB = DC \]
    • \[ \angle BAE = \angle CDE \]
    • \[ \angle ABE = \angle DCE \]

    Теперь у нас есть:

    • \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]
    • \[ AD = AD \] (общая гипотенуза).
    • \[ \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \]
    • \[ AB = DC \] (доказано).

    Мы имеем равную гипотенузу и одну пару равных сторон. Но эти стороны не являются катетами, они являются катетом одного треугольника и катетом другого (AB и DC).

    Если AB = DC, то мы можем использовать признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, если бы были равны BC и AD, что не так.

    Рассмотрим еще раз:

    1. E - середина AD (так как AE = ED, и AD - гипотенуза).

    2. BE и CE - медианы к гипотенузе AD в прямоугольных треугольниках Δ ABD и Δ ACD.

    3. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: BE = 1/2 AD, CE = 1/2 AD.

    4. Следовательно, BE = CE.

    5. Теперь у нас есть:

    • \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]
    • \[ \text{Сторона } AB \text{ и катет } BD \text{ и гипотенуза } AD \]
    • \[ \text{Сторона } AC \text{ и катет } CD \text{ и гипотенуза } AD \]

    Мы знаем, что BE = CE.

    Рассмотрим треугольник Δ BCE. Он равнобедренный, так как BE = CE.

    Теперь посмотрим на равенство сторон AB и AC.

    Если E - середина AD, то BE и CE - медианы.

    Что если мы докажем, что AB = AC?

    Если AB = AC, то Δ ABD и Δ ACD равны по двум катетам и общей гипотенузе AD.

    Из условия AE = ED, и того, что B и C лежат на окружности с диаметром AD, следует, что BE = CE = AE = ED.

    Рассмотрим треугольник Δ ABC. Мы знаем, что ∠ABD = 90°, ∠ACD = 90°.

    Рассмотрим треугольник Δ BCE. Он равнобедренный (BE=CE).

    Рассмотрим треугольник Δ ABE. У нас есть AB, AE, BE.

    Рассмотрим треугольник Δ DCE. У нас есть DC, DE, CE.

    Мы доказали, что Δ ABE = Δ DCE, следовательно AB = DC.

    Теперь у нас есть:

    • \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]
    • \[ \text{Гипотенуза } AD = AD \]
    • \[ \text{Прямой угол } ∠ ABD = ∠ ACD = 90^{\circ} \]
    • \[ \text{Катет } AB \text{ и катет } BD \]
    • \[ \text{Катет } AC \text{ и катет } CD \]
    • \[ AB = DC \] (доказано).

    Если AB = DC, то мы не можем использовать признак равенства по катету и гипотенузе (нужны равные катеты).

    Но мы знаем, что BE = CE.

    Рассмотрим треугольник Δ BCD. У него стороны BC, CD, BD.

    Рассмотрим треугольник Δ CBA. У него стороны CB, BA, AC.

    Мы знаем, что BC - общая сторона.

    \[ \triangle ABD \text{ и } \triangle ACD \]

    \[ \text{AD - общая гипотенуза} \]

    \[ ∠ ABD = ∠ ACD = 90^{\circ} \]

    \[ AB = DC \] (доказано из равенства Δ ABE = Δ DCE).

    \[ BE = CE \] (доказано из медиан к гипотенузе).

    Если AB = DC, и AD - гипотенуза, то чтобы доказать равенство треугольников, нам нужно либо AB = AC, либо BD = CD.

    Из равенства Δ ABE = Δ DCE, мы имеем:

    • \[ AB = DC \]
    • \[ AE = DE \]
    • \[ BE = CE \]

    Теперь рассмотрим равенство треугольников Δ ABD и Δ ACD.

    У нас есть:

    • \[ AD = AD \] (общая гипотенуза).
    • \[ ∠ ABD = ∠ ACD = 90^{\circ} \]
    • \[ AB = DC \]

    Мы не можем использовать признак по двум сторонам и углу, так как AB и DC не являются сторонами, прилежащими к углу AD.

    Попробуем доказать, что AC = BD.

    Если ABCD - прямоугольник, то AC = BD. И AB = CD.

    Но условие ED = AE.

    Мы доказали, что BE = CE.

    Если AE = ED и BE = CE, и ∠AEB = ∠CED (вертикальные), то Δ ABE = Δ DCE.

    Отсюда: AB = DC.

    Теперь рассмотрим треугольник Δ ABC и Δ DCB.

    • \[ \text{Сторона } BC \text{ - общая} \]
    • \[ \text{Катет } AB = \text{Катет } DC \]
    • \[ ∠ ABC = 90^{\circ} \] (это не то же самое, что ∠ ABD).

    Давайте использовать признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, если мы можем доказать, что AC = BD.

    Из того, что E - середина AD, и BE, CE - медианы к гипотенузе, мы имеем BE = CE = AE = ED.

    Рассмотрим треугольник Δ ABC. Мы знаем, что ∠ABD = 90°. Это означает, что точка B лежит на окружности с диаметром AD.

    Рассмотрим треугольник Δ ACD. Мы знаем, что ∠ACD = 90°. Это означает, что точка C лежит на окружности с диаметром AD.

    Итак, точки B и C лежат на окружности с диаметром AD.

    E - середина AD. BE и CE - медианы. BE = CE = 1/2 AD.

    Мы доказали, что AB = DC.

    Теперь посмотрим на треугольник Δ ABD и Δ ACD.

    • \[ AD = AD \] (общая гипотенуза).
    • \[ ∠ ABD = ∠ ACD = 90^{\circ} \]
    • \[ AB = DC \]

    Если бы AB = AC, то треугольники были бы равны по двум катетам.

    Если бы BD = CD, то треугольники были бы равны по катету и гипотенузе (если BD=AC, то равенство по катету и гипотенузе).

    Мы доказали, что AB = DC.

    Теперь рассмотрим треугольник Δ BCD.

    Теперь рассмотрим треугольник Δ ABC.

    • \[ BC \text{ - общая сторона} \]
    • \[ ∠ ABC = 90^{\circ} \] \(так как ∠ ABD = 90^{\circ} и E лежит на AD\).
    • \[ ∠ BCD = 90^{\circ} \] \(так как ∠ ACD = 90^{\circ} и E лежит на AD\).

    Если AB = DC, и BC - общая сторона, и ∠ABC = ∠DCB = 90°.

    Тогда по двум сторонам и углу между ними (катет, сторона, угол):

    \[ \triangle ABC \text{ и } \triangle DCB \]

    \[ AB = DC \]

    \[ BC = CB \]

    \[ \angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ} \]

    По двум сторонам и углу между ними: ∠ ABC = ∠ DCB, следовательно, ∠ ABC = 90^{\(\circ\)} и ∠ DCB = 90^{\(\circ\)}.

    \[ \triangle ABC = \triangle DCB \] (по двум сторонам и углу между ними).

    Из равенства этих треугольников следует:

    • \[ AC = DB \]
    • \[ ∠ BAC = ∠ CDB \]
    • \[ ∠ ACB = ∠ DBC \]

    Теперь вернемся к нашим изначальным треугольникам: ∆ ABD и ∆ ACD.

    \[ AD = AD \] (общая гипотенуза).

    \[ ∠ ABD = ∠ ACD = 90^{\circ} \]

    \[ AB = DC \] (доказано).

    \[ AC = DB \] (доказано).

    По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе:

    \[ ∆ ABD ≈ ∆ ACD \]

    Так как ∆ ABD и ∆ ACD - прямоугольные, и у них равны гипотенузы (AD) и катеты (AB = DC, AC = DB).

    Нет, это неправильный признак. Признак по катету и гипотенузе требует равенства одного катета и гипотенузы.

    У нас есть:

    • \[ AD = AD \] (общая гипотенуза).
    • \[ AB = DC \] (доказано).
    • \[ AC = DB \] (доказано).

    Мы можем использовать признак равенства по трем сторонам, если докажем, что AB = AC и BD = CD, или использовать признак по двум сторонам и углу между ними, если AB = AC, или BD = CD.

    Из равенства ∆ ABC = ∆ DCB, мы получили AC = DB.

    Теперь в ∆ ABD и ∆ ACD:

    • \[ AD = AD \] (гипотенуза).
    • \[ AB = DC \] (катет).
    • \[ BD = AC \] (катет).

    По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам:

    ∆ ABD и ∆ ACD - прямоугольные.

    ∆ ABD имеет катеты AB и BD.

    ∆ ACD имеет катеты AC и CD.

    Мы знаем, что AB = DC и BD = AC.

    Следовательно, катеты одного треугольника равны катетам другого.

    ∆ ABD = ∆ ACD (по двум катетам).

    Вывод:

    1. Из условия AE = ED и того, что B и C лежат на окружности с диаметром AD, следует, что E - середина AD, и BE = CE = 1/2 AD (медианы к гипотенузе).

    2. Рассматриваем ∆ ABE и ∆ DCE: AE = DE, BE = CE, ∠ AEB = ∠ DEC (вертикальные). Следовательно, ∆ ABE = ∆ DCE по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AB = DC.

    3. Рассматриваем ∆ ABC и ∆ DCB: BC - общая сторона, AB = DC, ∠ ABC = ∠ DCB = 90°. Следовательно, ∆ ABC = ∆ DCB по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AC = DB.

    4. Теперь в прямоугольных ∆ ABD и ∆ ACD: AD - общая гипотенуза. Катеты AB = DC и BD = AC. Следовательно, ∆ ABD = ∆ ACD по двум катетам.

Ответ: ∆ ABD = ∆ ACD

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю