Условие задания: Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в 3 раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 33. Если при этом в куче оказалось не более 85, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 83. При каком минимальном значении числа S Петя не может выиграть в один ход, но выигрывает своим вторым ходом при любой игре Вани? Ответ в виде числа запишите без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 11

Пошаговое решение:

• Анализ выигрышных ходов Пети:
• Петя выигрывает первым ходом, если после его хода количество камней в куче становится от 33 до 85. Это достигается либо добавлением 2 камней, либо умножением на 3.
• Проверка S = 10:
• Если S = 10, Петя может добавить 2 и получить 12, или умножить на 3 и получить 30. Ни один из этих ходов не приводит к выигрышу сразу.
• Если Петя умножает на 3 (получает 30), Ваня может добавить 2 (получает 32) или умножить на 3 (получает 90). В первом случае Петя следующим ходом может добавить 2 и выиграть (34). Во втором случае Ваня проигрывает.
• Если Петя добавляет 2 (получает 12), Ваня может добавить 2 (получает 14) или умножить на 3 (получает 42). В обоих случаях у Пети есть выигрышный ход.
• Проверка S = 11:
• Если S = 11, Петя может добавить 2 и получить 13, или умножить на 3 и получить 33. Если Петя сразу умножает на 3 и получает 33, то он сразу выигрывает. Но по условию, Пете нужно выиграть вторым ходом.
• Значит, первый ход Пети - добавить 2 и получить 13. Теперь ходит Ваня.
• Если Ваня добавляет 2 и получает 15, Петя умножает на 3 и выигрывает, так как получает 45.
• Если Ваня умножает на 3 и получает 39, Петя добавляет 2 и выигрывает, так как получает 41.
• Получается, что при S = 11 Петя не может выиграть в один ход, но выигрывает своим вторым ходом при любой игре Вани.

Ответ: 11