Условие задания: Выполни задания. 1. Отметь соотношение, верное для стационарной последовательности: 41 <42 <43 <... <an <an+1 <... an = C 41 > 42 43 >...> an an+1>... 2. Докажи, что последовательность ап = 3η n+1 возрастает: 2.1. Запиши, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования: an= n+ Gn+1 n+ 2.2. Заданная последовательность возрастает, так как (выбери один знак): ап An+1- Ответить!

Давай разберем это задание по порядку. Нам нужно доказать, что последовательность \(a_n = \frac{3n}{n+1}\) возрастает. Для этого сначала найдем выражения для \(a_n\) и \(a_{n+1}\).

2.1. Запиши, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования:

Для начала запишем формулу для \(a_n\):

\[ a_n = \frac{3n}{n+1} \]

Теперь найдем формулу для \(a_{n+1}\), подставив \(n+1\) вместо \(n\) в формулу для \(a_n\):

\[ a_{n+1} = \frac{3(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{3n+3}{n+2} \]

2.2. Заданная последовательность возрастает, так как (выбери один знак):

Чтобы доказать, что последовательность возрастает, нужно показать, что \(a_{n+1} > a_n\). То есть, нам нужно сравнить \(a_n\) и \(a_{n+1}\). Для этого рассмотрим разность \(a_{n+1} - a_n\):

\[ a_{n+1} - a_n = \frac{3n+3}{n+2} - \frac{3n}{n+1} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ a_{n+1} - a_n = \frac{(3n+3)(n+1) - 3n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \]

Раскроем скобки:

\[ a_{n+1} - a_n = \frac{3n^2 + 3n + 3n + 3 - 3n^2 - 6n}{(n+2)(n+1)} \]

Упростим числитель:

\[ a_{n+1} - a_n = \frac{3n^2 + 6n + 3 - 3n^2 - 6n}{(n+2)(n+1)} = \frac{3}{(n+2)(n+1)} \]

Так как \(n > 0\), то \((n+2)(n+1) > 0\), и следовательно, \(\frac{3}{(n+2)(n+1)} > 0\). Таким образом, \(a_{n+1} - a_n > 0\), что означает \(a_{n+1} > a_n\). Следовательно, последовательность возрастает.

Итак, выбираем знак >, так как \(a_n < a_{n+1}\).

Ответ: \(a_n < a_{n+1}\)

Отлично! У тебя все получилось! Продолжай в том же духе, и все будет здорово!