Установите непрерывность функции на интервале (-∞;+∞) f(x) = x²-3х+5, еслих > 2 4х-5, если х <2 f(x) = --х+4, еслих <-2 2 -x² +9, если - 2 <x<2 2х+1,5, если х≥ 2 x+3, если х < -1 f(x) =x² -х, если -1≤х - 2х + 6, если х>3 - 0,9х - 5,4, если х f(x) =4-х², если – 3 <х 2,5х-5, если х 2

Привет! Разберем непрерывность функций на интервале (-∞; +∞).

Непрерывность функции — это свойство функции, означающее, что её график можно нарисовать «одним росчерком пера», не отрывая его от бумаги.

Чтобы доказать непрерывность функции, нужно показать, что в каждой точке её области определения функция определена и предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке.

Рассмотрим каждую функцию по очереди:

1. Первая функция:

   \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 5, & \text{если } x > 2 \\ 4x - 5, & \text{если } x < 2 \end{cases} \]

   Проверим непрерывность в точке x = 2:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to 2^-} (4x - 5) = 4(2) - 5 = 3 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 3x + 5) = (2)^2 - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3 \]

   • Значение в точке x = 2 не определено, но если бы было определено, оно должно быть равно 3 для непрерывности.

   Вывод: Функция непрерывна, если доопределить её значение в точке x = 2 как f(2) = 3.

2. Вторая функция:

   \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x + 4, & \text{если } x < -2 \\ -x^2 + 9, & \text{если } -2 < x < 2 \\ 2x + 1.5, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \]

   Проверим непрерывность в точке x = -2:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to -2^-} (\frac{1}{2}x + 4) = \frac{1}{2}(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to -2^+} (-x^2 + 9) = -(-2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5 \]

   Так как пределы слева и справа не равны, функция разрывна в точке x = -2.

   Проверим непрерывность в точке x = 2:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 9) = -(2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to 2^+} (2x + 1.5) = 2(2) + 1.5 = 4 + 1.5 = 5.5 \]

   Так как пределы слева и справа не равны, функция разрывна в точке x = 2.

   Вывод: Функция разрывна в точках x = -2 и x = 2.

3. Третья функция:

   \[ f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x < -1 \\ x^2 - x, & \text{если } -1 \leq x \leq 3 \\ -2x + 6, & \text{если } x > 3 \end{cases} \]

   Проверим непрерывность в точке x = -1:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to -1^-} (x + 3) = -1 + 3 = 2 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to -1^+} (x^2 - x) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]

   Функция непрерывна в точке x = -1.

   Проверим непрерывность в точке x = 3:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to 3^-} (x^2 - x) = (3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to 3^+} (-2x + 6) = -2(3) + 6 = -6 + 6 = 0 \]

   Так как пределы слева и справа не равны, функция разрывна в точке x = 3.

   Вывод: Функция разрывна в точке x = 3.

4. Четвертая функция:

   \[ f(x) = \begin{cases} -0.9x - 5.4, & \text{если } x \leq -3 \\ 4 - x^2, & \text{если } -3 < x < 2 \\ 2.5x - 5, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \]

   Проверим непрерывность в точке x = -3:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to -3^-} (-0.9x - 5.4) = -0.9(-3) - 5.4 = 2.7 - 5.4 = -2.7 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to -3^+} (4 - x^2) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 \]

   Так как пределы слева и справа не равны, функция разрывна в точке x = -3.

   Проверим непрерывность в точке x = 2:

   • Предел слева: \[ \lim_{x \to 2^-} (4 - x^2) = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0 \]

   • Предел справа: \[ \lim_{x \to 2^+} (2.5x - 5) = 2.5(2) - 5 = 5 - 5 = 0 \]

   Функция непрерывна в точке x = 2.

   Вывод: Функция разрывна в точке x = -3.

Надеюсь, это поможет разобраться!