Установите соответствие между функциями и их производными:

Привет, ребята! Давайте разберем это задание по шагам.

**Задание:** Нам нужно сопоставить функции с их производными.

**Шаг 1: Найдем производную каждой функции.**

* **Функция 1:** (y = e^{-3x})

* Используем правило дифференцирования сложной функции: ((e^{u})' = e^{u} \(\cdot\) u')
* В нашем случае (u = -3x), тогда (u' = -3)
* Значит, (y' = e^{-3x} \(\cdot\) (-3) = -3e^{-3x})

* Это соответствует варианту **Г**.

* **Функция 2:** (y = \(\ln\)(x^2 + 1))

* Используем правило дифференцирования сложной функции: ((\(\ln\)(u))' = \(\frac{u'}{u}\))
* Здесь (u = x^2 + 1), тогда (u' = 2x)
* Значит, \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1}\)

* Это соответствует варианту **А**.

* **Функция 3:** (y = \(\arctan\)(x))

* Производная арктангенса ((\(\arctan\)(x))' = \(\frac{1}{1 + x^2}\))

* Это соответствует варианту **Б**.

* **Функция 4:** \(y = \frac{3x + 1}{3} e^{-3x-1}\)

* Здесь мы применим правило произведения: ((u*v)' = u'*v + u*v')
* u = (3x+1)/3, u' = 1
* v = e^(-3x-1), v' = -3e^(-3x-1)
* Значит, (y' = 1*e^{-3x-1} + \(\frac{3x+1}{3}\)*(-3e^{-3x-1}) = e^{-3x-1} - (3x+1)e^{-3x-1} = e^{-3x-1} (1 - (3x+1)) = -3xe^{-3x-1})
* Это соответствует варианту **В**.

**Шаг 2: Сопоставим функции и производные:**

* 1 - Г
* 2 - А
* 3 - Б
* 4 - В

**Ответ:**

Таким образом, мы установили соответствие между функциями и их производными.

1:Г
2:А
3:Б
4:В