Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

Решение:

Сопоставим графики функций с графиками их производных, анализируя поведение функций и их производных.

• График А — парабола, ветви вверх, вершина в (0,0). Это график функции \( y = x^2 \). Её производная \( y' = 2x \). График производной — прямая, проходящая через начало координат с положительным наклоном. Этот график соответствует графику 1.
• График Б — парабола, ветви вниз, вершина в (0,1). Это график функции \( y = -x^2 + 1 \). Её производная \( y' = -2x \). График производной — прямая, проходящая через начало координат с отрицательным наклоном. Этот график соответствует графику 2.
• График В — график функции \( y = √{x} \) (или \( y = x^{1/2} \)), определённой для \( x ≥ 0 \). Её производная \( y' = ½ x^{-1/2} = ½ \sqrt{x} \), которая является положительной при \( x > 0 \) и убывает с ростом \( x \). График производной — гипербола. Однако, среди предложенных графиков производных нет такого. Проверим другие варианты. Возможно, график В - это \( y = - √{x} \)? Тогда \( y' = -½ \sqrt{x} \), которая отрицательна. Также не подходит. Рассмотрим вариант \( y = ½ x^2 \). Тогда \( y' = x \). Это график 1. Рассмотрим вариант \( y = -½ x^2 \). Тогда \( y' = -x \). Это график 2. Если же график В — это \( y = 1 - x^2 \), то \( y' = -2x \) — это график 2.
• График Г — график функции \( y = |x| \), но смещённый. Похоже на \( y = |x - 1| \) или \( y = -|x| \) + константа. Если график Г — это \( y = -x^2 + 1 \), то производная — это график 2.
• Вернемся к графику А. Если это \( y = x^2 \), производная \( y' = 2x \). Это график 1.
• График Б. Если это \( y = -x^2 \), производная \( y' = -2x \). Это график 2.
• График В. Если это \( y = x \), производная \( y' = 1 \). Это график 3.
• График Г. Если это \( y = -x \), производная \( y' = -1 \). Это график 4.
• Пересмотрим варианты функций и их производных, основываясь на предоставленных графиках.
• Функция А: парабола с вершиной в (0,0), ветви вверх. Похожа на \( y = x^2 \). Производная \( y' = 2x \). График производной — прямая, проходящая через (0,0) с положительным наклоном. Это график 1.
• Функция Б: парабола с вершиной в (0,1), ветви вниз. Похожа на \( y = -x^2 + 1 \). Производная \( y' = -2x \). График производной — прямая, проходящая через (0,0) с отрицательным наклоном. Это график 2.
• Функция В: график, проходящий через (0,0) и (1,1) с возрастанием. Похожа на \( y = √{x} \) (или \( y = x \)). Если \( y = x \), то \( y' = 1 \). График производной — горизонтальная прямая \( y = 1 \). Это график 3.
• Функция Г: график, проходящий через (0,0) и (1,-1) с убыванием. Похожа на \( y = -x \). Производная \( y' = -1 \). График производной — горизонтальная прямая \( y = -1 \). Это график 4.

Ответ: А — 1, Б — 2, В — 3, Г — 4.