Решение:
1. Поступить нелепо – слитно, так как можно заменить синонимом без "не" (глупо).
2. Говорить неискренне – слитно, так как можно заменить синонимом без "не" (лживо).
3. Совсем не интересно – раздельно, так как есть слово "совсем", усиливающее отрицание.
4. Пишет небрежно – слитно, так как можно заменить синонимом без "не" (неаккуратно).
Ответ:
1 - А (Слитно)
2 - А (Слитно)
3 - Б (Раздельно)
4 - А (Слитно)