454. (Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней: 1) x²+4x-5 = 0; 3) x²-5x+3= 0; 2) x² + 5x + 3 = 0; 4) x²-8x-7= 0. 455. Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни Х1 И Х2: 1) x₁=3, x2=-1; 3) X₁=-4, X2=-5; 2) X₁=2, X2 = 3; 4) X₁=-3, X2=6. 5) x² - 8x + 15 = 0; 456. Подбором найти корни уравнения: 1) x² + 5x + 6 = 0; 2) x²-7x + 12 = 0; 4) x²+8x+7 = 0; 3) x²-6x + 5 = 0; 6) x²+2x-15=0. 457. Квадратный трёхчлен разложить на множители: 1) x²-5x+6; 4) x²+x-42; 7) -6x² + 7x-2; 2) x² + 4x - 5; 5) 2x²- x -1; 8) -4x²-7x+2.

454. Знаки корней квадратного уравнения

Напомню, что для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, произведение корней равно c/a, а сумма корней равна -b/a.

1. x² + 4x - 5 = 0: \[\frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5 < 0\] значит, корни разных знаков.\[-\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4 < 0\] модуль отрицательного корня больше, чем положительного.
2. x² + 5x + 3 = 0: \[\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 > 0\] значит, корни одного знака.\[-\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5 < 0\] значит, оба корня отрицательные.
3. x² - 5x + 3 = 0: \[\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 > 0\] значит, корни одного знака.\[-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5 > 0\] значит, оба корня положительные.
4. x² - 8x - 7 = 0: \[\frac{c}{a} = \frac{-7}{1} = -7 < 0\] значит, корни разных знаков.\[-\frac{b}{a} = -\frac{-8}{1} = 8 > 0\] значит, модуль положительного корня больше, чем отрицательного.

455. Приведенное квадратное уравнение

Приведенное квадратное уравнение имеет вид x² + px + q = 0, где p = -(x₁ + x₂) и q = x₁ * x₂.

1. x₁ = 3, x₂ = -1:\[p = -(3 + (-1)) = -2\]\[q = 3 \cdot (-1) = -3\]Уравнение: x² - 2x - 3 = 0
2. x₁ = 2, x₂ = 3:\[p = -(2 + 3) = -5\]\[q = 2 \cdot 3 = 6\]Уравнение: x² - 5x + 6 = 0
3. x₁ = -4, x₂ = -5:\[p = -(-4 + (-5)) = 9\]\[q = (-4) \cdot (-5) = 20\]Уравнение: x² + 9x + 20 = 0
4. x₁ = -3, x₂ = 6:\[p = -(-3 + 6) = -3\]\[q = (-3) \cdot 6 = -18\]Уравнение: x² - 3x - 18 = 0

456. Подбор корней уравнения

1. x² + 5x + 6 = 0: Корни: x₁ = -2, x₂ = -3.
2. x² - 7x + 12 = 0: Корни: x₁ = 3, x₂ = 4.
3. x² - 6x + 5 = 0: Корни: x₁ = 1, x₂ = 5.
4. x² + 8x + 7 = 0: Корни: x₁ = -1, x₂ = -7.
5. x² - 8x + 15 = 0: Корни: x₁ = 3, x₂ = 5.
6. x² + 2x - 15 = 0: Корни: x₁ = -5, x₂ = 3.

457. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c можно разложить на множители как a(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - корни уравнения.

1. x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
2. x² + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5)
3. x² + 5x - 24 = (x - 3)(x + 8)
4. x² + x - 42 = (x - 6)(x + 7)
5. 2x² - x - 1 = 2(x - 1)(x + 0.5) = (x - 1)(2x + 1)
6. 8x² + 10x + 3 = 8(x + 0.5)(x + 0.75) = (2x + 1)(4x + 3)
7. -6x² + 7x - 2 = -6(x - 0.5)(x - 0.666...) = -(2x - 1)(3x - 2)
8. -4x² - 7x + 2 = -4(x + 2)(x - 0.25) = -(x + 2)(4x - 1)

Ответ: Решения выше.