Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов и одного резервного. Вероятность отказа каждого основного элемента за время t равна 0,2. Резервный элемент работает безотказно. Устройство отказывает, если работает менее трех элементов. Найдите вероятность безотказной работы устройства за время t, если резервный элемент включен.

Задача на теорию вероятностей. Устройство работает безотказно, если работают хотя бы три элемента (с резервным элементом). Вероятность отказа каждого элемента q = 0,2, тогда вероятность работы каждого элемента p = 1 - q = 1 - 0,2 = 0,8.

Рассмотрим все возможные случаи безотказной работы устройства:

1. Работают все три основных элемента, резервный элемент включен.
2. Работают два основных элемента и резервный элемент.

1) Вероятность, что работают все три основных элемента, равна:

$$P_3 = C_3^3 \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot 0.8^3 \cdot 1 = 0.512$$

2) Вероятность, что работают два основных элемента и один отказал, равна:

$$P_2 = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2 = 3 \cdot 0.64 \cdot 0.2 = 0.384$$

Тогда общая вероятность безотказной работы устройства равна сумме этих вероятностей:

$$P = P_3 + P_2 = 0.512 + 0.384 = 0.896$$

Ответ: 0,896