В ΔABC на стороне AC отметили произвольную точку M, в ΔABM провели биссектрису MK. В ΔCBM построили высоту MP. <KMP=90° CM=12см. Найти: BM-?

Решение:

• В треугольнике ABM, MK является биссектрисой угла BMA.
• В треугольнике CBM, MP является высотой, следовательно, угол CMP равен 90 градусов.
• Угол KMP равен 90 градусов.

Так как MK - биссектриса угла BMA, то углы BMK и KMA равны. Пусть ∠BMK = ∠KMA = x.

В треугольнике BMP:

• ∠BMP = 180° - ∠KMP = 180° - 90° = 90°
• ∠BMP = 90°

Тогда в треугольнике BMP: ∠MBP = 90° - ∠BMK = 90° - x

Рассмотрим треугольник CMP: ∠CMP = 90°

Следовательно, ∠BCM = 90° - ∠PMC

Теперь рассмотрим треугольник BCM. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то есть:

∠MBC + ∠BCM + ∠BMC = 180°

Заменим известные значения:

(90° - x) + ∠BCM + x = 180°

∠BCM + 90° + ∠BMC = 180°

Из этого следует, что ∠BCM + ∠BMC = 90°

Но так как ∠CMP = 90°, то CM = BM.

По условию CM = 12 см, следовательно, BM = 12 см.

Ответ: 12 см