2. В ΔABC угол A равен 45°, BC=10 см, а высота BD делит сторону АС на отрезки AD=6 см, DC=8 см. Найдите площадь ΔABC и высоту, проведённую к стороне ВС.

2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = 45^\circ\), \(BC = 10\text{ см}\), \(BD \perp AC\), \(AD = 6\text{ см}\), \(DC = 8\text{ см}\)

Найти: \(S_{ABC}\), высоту к стороне BC.

Решение:

1) Рассмотрим \(\triangle ABD\). Он прямоугольный. Значит, \(\tan A = \frac{BD}{AD}\). Отсюда \(BD = AD \cdot \tan A = 6 \cdot \tan 45^\circ = 6 \cdot 1 = 6 \text{ см}\).

2) \(AC = AD + DC = 6 + 8 = 14 \text{ см}\)

3) Площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2$$

4) Пусть \(AE \perp BC\). Тогда

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE$$ $$42 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AE$$ $$AE = \frac{42 \cdot 2}{10} = 8.4 \text{ см}$$

Ответ: \(S_{ABC} = 42 \text{ см}^2\), \(AE = 8.4 \text{ см}\)