В-1. Найти общий вид первообразной: а) f(x) = 4x + 1; б) f(x) = 3x² + 2x − 1; в) f(x) = 2 cos x − 3 sin x; г) f(x) = 3/x² − 5x³ − 7x + 5; д) f(x) = 12x² − 2x; е) f(x) = 4x⁴ − x³.

Используем правило нахождения первообразной для степенной функции: \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) при \(n\ne -1\), а также \(\int\cos x\,dx=\sin x\) и \(\int\sin x\,dx=-\cos x\).

1. а) \(F(x)=\int(4x+1)\,dx=2x^2+x+C\).
2. б) \(F(x)=\int(3x^2+2x-1)\,dx=x^3+x^2-x+C\).
3. в) \(F(x)=\int(2\cos x-3\sin x)\,dx=2\sin x+3\cos x+C\).
4. г) Перепишем дробь как степень: \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\). Тогда \(F(x)=\int(3x^{-2}-5x^3-7x+5)\,dx=-\frac{3}{x}-\frac{5}{4}x^4-\frac{7}{2}x^2+5x+C\), где \(x\ne0\).
5. д) \(F(x)=\int(12x^2-2x)\,dx=4x^3-x^2+C\).
6. е) \(F(x)=\int(4x^4-x^3)\,dx=\frac{4}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+C\).

Здесь \(C\) — произвольная постоянная.