Ответ:

Деепричастные обороты обособляются запятыми. В нескольких местах текст, по-видимому, распознан с ошибками; возможные исправления отмечены отдельно.

  1. Раскурив трубку, глубоко вдыхал дым.
  2. Размашисто перекрестясь, поклонился в ноги.
  3. Ставнув караван, двинулся к Азову. Слово «ставнув» неясно и, вероятно, распознано неверно; для точного исправления нужен фрагмент оригинала.
  4. Лефорт, оставив ногу в жёлтом ботфорте, глядел в трубу на караван.
  5. Вглядываясь, слышал шорох листвы.
  6. Отдельные всадники, пригибаясь к коням, кинулись назад.
  7. Люди, обозумев, стреляли, кричали. Слово «обозумев» выглядит сомнительным; оставлено без догадки.
  8. Шторм пролетел, натворив много бед.
  9. Турки, высунувшись между зубцами, кричали что-то обидное.
  10. Опершись на Алексашкино плечо, Пётр вспрыгнул на фашины.
  11. В сенях появились первые дамы, отправляя парики и платья. Сочетание «отправляя парики и платья» неясно по смыслу и, возможно, искажено при распознавании.
  12. К апрелю месяцу, собрав сто двадцать тысяч служилого войска и соединившись с малороссийскими казаками, он медленно пошёл к низовьям Днепра.

Чтобы уточнить слова «ставнув», «обозумев» и фразу «отправляя парики и платья», нужен чёткий снимок соответствующих строк.