В [1mΔABC[0m на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD : BA = 1 : 3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁. а) Докажите, что ΔDBD₁ ∼ ΔABC. б) Найдите AC, если DD₁ = 4 см.

а) Так как D₁ лежит на BC, а DD₁ ∥ AC, имеем ∠DBD₁ = ∠ABC и ∠BD₁D = ∠BCA. Следовательно, по двум углам ΔDBD₁ ∼ ΔABC; соответствие вершин: D ↔ A, B ↔ B, D₁ ↔ C.

б) Из BD : BA = 1 : 3 и подобия следует DD₁ : AC = BD : BA = 1 : 3. Поэтому AC = 3 · DD₁ = 3 · 4 = 12 см.

Ответ: а) ΔDBD₁ ∼ ΔABC; б) AC = 12 см.