В.2 Чему равна молярная масса газа, плотность которого 0,2 кг/м³, температура 250 К, давление 19 кПа? Ответ:

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона в следующей форме:

\[ PV = \frac{m}{M} RT \]

Где:

• \[ P \] — давление газа.
• \[ V \] — объем газа.
• \[ m \] — масса газа.
• \[ M \] — молярная масса газа.
• \[ R \] — универсальная газовая постоянная (\[ R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} · \text{К)} \]).
• \[ T \] — абсолютная температура газа.

Известно, что плотность газа \[ \rho = \frac{m}{V} \]. Перепишем уравнение состояния, используя плотность:

\[ P \frac{V}{m} = \frac{RT}{M} \]

Так как \[ \frac{m}{V} = \rho \], то \[ \frac{V}{m} = \frac{1}{\rho} \]. Подставляем это в уравнение:

\[ \frac{P}{\rho} = \frac{RT}{M} \]

Теперь выразим молярную массу \[ M \]:

\[ M = \frac{\rho RT}{P} \]

Подставим данные из условия задачи:

• \[ \rho = 0.2 \text{ кг/м}^3 \]
• \[ T = 250 \text{ К} \]
• \[ P = 19 \text{ кПа} = 19 \times 10^3 \text{ Па} \]
• \[ R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} · \text{К)} \]

Рассчитаем молярную массу:

\[ M = \frac{0.2 \text{ кг/м}^3 \times 8.31 \text{ Дж/(моль} · \text{К)} \times 250 \text{ К}}{19 \times 10^3 \text{ Па}} \]

Вычислим числитель:

\[ 0.2 \times 8.31 \times 250 = 415.5 \text{ (кг} · \text{Дж)} / \text{моль} \]

Теперь разделим на давление:

\[ M = \frac{415.5}{19000} \text{ кг/моль} \]

Важно: Единицы измерения должны быть согласованы. В СИ давление измеряется в Паскалях, плотность в кг/м³, температура в Кельвинах, R в Дж/(моль·К). Результат будет в кг/моль.

\[ M = \frac{415.5}{19000} \text{ кг/моль} \approx 0.02187 \text{ кг/моль} \]

Переведем в граммы на моль, умножив на 1000:

\[ M \approx 0.02187 \times 1000 \text{ г/моль} \approx 21.87 \text{ г/моль} \]

Это значение похоже на молярную массу некоторых газов, например, азота (\[ N_2 \] — 28 г/моль) или кислорода (\[ O_2 \] — 32 г/моль). Проверим расчеты.

Проверка единиц:

\[ \frac{(\text{кг/м}^3) \times (\text{Дж/(моль} · \text{К)}) \times \text{К}}{\text{Па}} = \frac{\text{кг} · \text{Дж}}{\text{м}^3 \u00B7 \text{моль}} \cdot \frac{1}{\text{Па}} \]

Так как \[ 1 \text{ Дж} = 1 \text{ Па} · \text{м}^3 \], то:

\[ \frac{\text{кг} \u00B7 \text{Па} · \text{м}^3}{\text{м}^3 \u00B7 \text{моль} \u00B7 \text{Па}} = \text{кг/моль} \]

Единицы измерения верны.

Пересчет:

\[ M = \frac{0.2 \times 8.31 \times 250}{19000} = \frac{415.5}{19000} ≈ 0.021868 \text{ кг/моль} \]

Ответ: 0.0219 кг/моль (или 21.9 г/моль)