В 7:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 22:00 того же дня часы отставали на час. На сколько минут отставали часы спустя 17 часов после того, как они сломались?

Решение:

Время, прошедшее с момента поломки до 22:00, составляет \( 22 - 7 = 15 \) часов.

За эти 15 часов часы отстали на 1 час, то есть на \( 60 \) минут.

Поскольку отставание увеличивалось на одно и то же количество минут каждый час, это означает, что отставание в первый час было \( m \) минут, во второй час \( 2m \) минут, и так далее, где \( m \) — это количество минут, на которое часы отставали в первый час.

Общее отставание за 15 часов равно сумме арифметической прогрессии: \( S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + (15-1)d) \), где \( a_1 \) — отставание в первый час, \( d \) — постоянное увеличение отставания. В условии сказано, что часы отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. Это означает, что если в первый час отставание составило \( x \) минут, то во второй час отставание составило \( x+x = 2x \), в третий \( 2x+x = 3x \) и так далее. Таким образом, отставание в \( n \)-й час равно \( nx \) минут. Общее отставание за \( N \) часов равно \( x + 2x + 3x + ... + Nx = x(1+2+3+...+N) = x \frac{N(N+1)}{2} \).

В нашем случае \( N = 15 \) часов, а общее отставание \( 60 \) минут.

\[ x \frac{15(15+1)}{2} = 60 \] \[ x \frac{15 \times 16}{2} = 60 \] \[ x \times 15 \times 8 = 60 \] \[ 120x = 60 \] \[ x = \frac{60}{120} = 0.5 \text{ минуты} \]

Значит, в первый час часы отстали на 0.5 минуты, во второй — на 1 минуту, в третий — на 1.5 минуты, и так далее.

Нам нужно узнать, на сколько минут отставали часы спустя 17 часов после того, как они сломались. Это будет общее отставание за 17 часов:

\[ \text{Отставание за 17 часов} = 0.5 \times \frac{17(17+1)}{2} = 0.5 \times \frac{17 \times 18}{2} = 0.5 \times 17 \times 9 = 0.5 \times 153 = 76.5 \text{ минуты} \]

Ответ: 76.5 минут