в) 16а⁴ - b⁴; г) х⁵ + 1/32у⁵. ЗАДАНИЕ 14. Докажите, что: а) 81⁵ – 3¹⁰ делится на 6; б) 17¹² – 49⁶ кратно 10.

Задание 14a

Докажем, что 81⁵ – 3¹⁰ делится на 6.

• Шаг 1: Преобразуем выражение, представив 81 как степень 3.

Т.к. 81 = 3⁴, то 81⁵ = (3⁴)⁵ = 3²⁰

• Шаг 2: Перепишем исходное выражение:

3²⁰ – 3¹⁰

• Шаг 3: Вынесем общий множитель 3¹⁰ за скобки:

3¹⁰(3¹⁰ – 1)

• Шаг 4: Оценим выражение в скобках:

3¹⁰ – 1 = 59049 – 1 = 59048

• Шаг 5: Проверим делимость полученного числа на 2 и 3.

Число 59048 делится на 2, так как оно четное.

Сумма цифр числа 59048 равна 5 + 9 + 0 + 4 + 8 = 26. 26 не делится на 3, следовательно, и 59048 не делится на 3.

• Шаг 6: Вывод

Выражение 3¹⁰(3¹⁰ – 1) = 3¹⁰ * 59048. Число 59048 делится на 2, a 3¹⁰ делится на 3, следовательно, все выражение делится на 6.

Что и требовалось доказать.

Задание 14б

Докажем, что 17¹² – 49⁶ кратно 10.

• Шаг 1: Преобразуем выражение, представив 49 как степень 7.

Т.к. 49 = 7², то 49⁶ = (7²)⁶ = 7¹²

• Шаг 2: Перепишем исходное выражение:

17¹² – 7¹²

• Шаг 3: Разложим разность степеней на множители, используя формулу a² – b² = (a – b)(a + b).

17¹² – 7¹² = (17⁶ – 7⁶)(17⁶ + 7⁶)

• Шаг 4: Разложим первую скобку, как разность кубов:

(17⁶ – 7⁶) = (17² – 7²)(17⁴ + 17² ⋅ 7² + 7⁴) = (17 – 7)(17 + 7)(17⁴ + 17² ⋅ 7² + 7⁴) = 10 ⋅ 24 ⋅ (17⁴ + 17² ⋅ 7² + 7⁴)

• Шаг 5: Анализ полученного выражения

Полученное выражение содержит множитель 10, следовательно, все выражение кратно 10.

Что и требовалось доказать.

Ответ: выражения в заданиях 14а и 14б действительно делятся на указанные числа.