23В. а) Решите уравнение (3tg2x-1) (cosx-π/3) = 0; б) Найдите все корни принадлежащие промежутку [-7π/2;-2π].

Решение:

а) Решим уравнение \[(3tg^2x - 1)(\cos x - \frac{\pi}{3}) = 0\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(3tg^2x - 1 = 0\) \[tg^2x = \frac{1}{3}\] \[tgx = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\] \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z\] 2) \(\cos x - \frac{\pi}{3} = 0\) \[\cos x = \frac{\pi}{3}\] Так как \(\frac{\pi}{3} \approx 1.047\), а значения косинуса находятся в пределах от -1 до 1, то \(\cos x = \frac{\pi}{3}\) не имеет решений. б) Найдем корни, принадлежащие промежутку \[[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]\] \[-\frac{7\pi}{2} \approx -10.99\] \[-2\pi \approx -6.28\] Подставим различные значения n в \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\): Если \(n = -3\), то \(x = \frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -8.90\) (подходит) Если \(n = -4\), то \(x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \approx -12.04\) (не подходит) Если \(n = -2\), то \(x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \approx -5.76\) (не подходит) Подставим различные значения n в \(x = -\frac{\pi}{6} + \pi n\): Если \(n = -2\), то \(x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.81\) (подходит) Если \(n = -3\), то \(x = -\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{19\pi}{6} \approx -9.95\) (подходит) Если \(n = -1\), то \(x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.67\) (не подходит)

Ответ:

a) \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z\] б) \[-\frac{17\pi}{6}; -\frac{13\pi}{6}; -\frac{19\pi}{6}\]