В ΔABC найди отношение BC : AC, если известно, что ∠A = 120° и AB : AC = 2.

Решение:

По теореме косинусов для треугольника ABC:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A) \)

По условию задачи:

\( AB = 2 \cdot AC \)

\( \angle A = 120^{\circ} \)

Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов:

\( BC^2 = (2 \cdot AC)^2 + AC^2 - 2 \cdot (2 \cdot AC) \cdot AC \cdot \cos(120^{\circ}) \)

\( BC^2 = 4 \cdot AC^2 + AC^2 - 4 \cdot AC^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \)

\( BC^2 = 5 \cdot AC^2 + 2 \cdot AC^2 \)

\( BC^2 = 7 \cdot AC^2 \)

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( BC = \sqrt{7} \cdot AC \)

Теперь найдём отношение BC : AC:

\( \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{7} \cdot AC}{AC} = \sqrt{7} \)

Таким образом, отношение BC : AC равно \( \sqrt{7} \).

Ответ: \( \sqrt{7} \).