В ΔABC (рисунок) на стороне AC взята точка K, BK = KC = AK, угол AKB на 30° больше угла C. Найдите угол ABK.

Решение:

Пусть \( \angle C = \alpha \).

Поскольку \( BK = KC \), то \( \Delta BKC \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle KBC = \angle C = \alpha \).

Так как \( BK = AK \), то \( \Delta AKB \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle ABK = \angle BAK \). Обозначим \( \angle ABK = \angle BAK = \beta \).

Угол \( \angle AKB \) является внешним для \( \Delta BKC \). Поэтому \( \angle AKB = \angle KBC + \angle C = \alpha + \alpha = 2\alpha \).

По условию, \( \angle AKB \) на 30° больше угла \( C \). Значит, \( \angle AKB = \angle C + 30^{\circ} \).

Подставим известные значения: \( 2\alpha = \alpha + 30^{\circ} \). Отсюда \( \alpha = 30^{\circ} \).

Тогда \( \angle C = 30^{\circ} \) и \( \angle AKB = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В \( \Delta ABC \) сумма углов равна 180°: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle BAC = \angle BAK = \beta \) и \( \angle BCA = \angle C = \alpha = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC = \angle ABK + \angle KBC = \beta + \alpha \).

Подставим в уравнение суммы углов треугольника:

\( \beta + (\beta + \alpha) + \alpha = 180^{\circ} \)

\( 2\beta + 2\alpha = 180^{\circ} \)

Разделим на 2: \( \beta + \alpha = 90^{\circ} \).

Подставим значение \( \alpha = 30^{\circ} \):

\( \beta + 30^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle ABK = \beta = 60^{\circ} \).

Проверим условие, что \( \angle AKB \) на 30° больше \( \angle C \). \( \angle AKB = 60^{\circ} \), \( \angle C = 30^{\circ} \). \( 60^{\circ} = 30^{\circ} + 30^{\circ} \). Условие выполняется.

Также проверим равенство сторон: \( BK=KC=AK \). Если \( \angle C = 30^{\circ} \) и \( \angle KBC = 30^{\circ} \), то \( \angle BKC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \). Следовательно, \( \angle AKB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). В \( \Delta AKB \): \( \angle ABK = 60^{\circ} \) и \( \angle AKB = 60^{\circ} \), значит \( \angle BAK = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \).

В \( \Delta ABC \): \( \angle BAC = 60^{\circ} \), \( \angle ABC = \angle ABK + \angle KBC = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} \), \( \angle BCA = 30^{\circ} \). Сумма углов: \( 60^{\circ} + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \). В \( \Delta ABC \) медиана \( BK \) равна половине стороны \( AC \) (так как \( AK=KC=BK \)). Это возможно только если \( \angle ABC = 90^{\circ} \), что мы получили.

Итак, \( \angle ABK = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.