В △ABC взяли такую точку O, что луч BO делит углы ABC и AOC пополам. Докажите, что прямые BO и AC перпендикулярны.

1. Так как луч BO делит угол ABC пополам, ∠ABO = ∠OBC. Так как луч OB делит угол AOC пополам, ∠AOB = ∠BOC.

2. Сторона BO общая для треугольников ABO и CBO. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Из равенства треугольников получаем AB = BC и AO = CO. Значит, точки B и O равноудалены от A и C, поэтому прямая BO является серединным перпендикуляром к AC.

Ответ: BO ⟂ AC.