В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (количество мест в первом ряду): \( a_1 = 19 \)
• Разность прогрессии (увеличение мест в каждом следующем ряду): \( d = 3 \)
• Количество членов прогрессии (количество рядов): \( n = 10 \)

Формула для нахождения суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставим известные значения:

\[ S_{10} = \frac{2 \cdot 19 + (10-1) \cdot 3}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = \frac{38 + 9 \cdot 3}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = \frac{38 + 27}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = \frac{65}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = 65 \cdot 5 \]\[ S_{10} = 325 \]

Альтернативный способ:

Сначала найдём количество мест в последнем (10-м) ряду по формуле:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ a_{10} = 19 + (10-1) \cdot 3 \]\[ a_{10} = 19 + 9 \cdot 3 \]\[ a_{10} = 19 + 27 \]\[ a_{10} = 46 \]

Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]\[ S_{10} = \frac{19 + 46}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = \frac{65}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = 65 \cdot 5 \]\[ S_{10} = 325 \]

Ответ: всего в амфитеатре 325 мест.