В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (количество мест в первом ряду): \( a_1 = 15 \)
• Разность прогрессии (увеличение мест в каждом следующем ряду): \( d = 3 \)
• Количество членов прогрессии (количество рядов): \( n = 12 \)

Формула для нахождения суммы \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставим значения:

\[ S_{12} = \frac{2 \cdot 15 + (12-1) \cdot 3}{2} \cdot 12 \]\[ S_{12} = \frac{30 + 11 \cdot 3}{2} \cdot 12 \]\[ S_{12} = \frac{30 + 33}{2} \cdot 12 \]\[ S_{12} = \frac{63}{2} \cdot 12 \]\[ S_{12} = 63 \cdot 6 \]\[ S_{12} = 378 \]

• Также можно найти количество мест в последнем ряду \( a_{12} \):

\[ a_{12} = a_1 + (n-1)d = 15 + (12-1) \cdot 3 = 15 + 11 \cdot 3 = 15 + 33 = 48 \]

И использовать другую формулу суммы:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]\[ S_{12} = \frac{15 + 48}{2} \cdot 12 \]\[ S_{12} = \frac{63}{2} \cdot 12 \]\[ S_{12} = 63 \cdot 6 \]\[ S_{12} = 378 \]

Ответ: 378 мест.