В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый следующий ряд имеет на постоянное число мест больше, чем предыдущий. Нам известны:

• Общее количество рядов: \( n = 14 \)
• Количество мест в 5-м ряду: \( a_5 = 27 \)
• Количество мест в 8-м ряду: \( a_8 = 36 \)

Разность между числом мест в 8-м и 5-м рядах равна количеству рядов между ними, умноженному на разность прогрессии \( d \):

\[ a_8 - a_5 = (8 - 5)d \]\[ 36 - 27 = 3d \]\[ 9 = 3d \]\[ d = \frac{9}{3} = 3 \]

Теперь мы знаем, что каждый следующий ряд имеет на 3 места больше, чем предыдущий.

Найдем количество мест в первом ряду \( a_1 \), используя 5-й ряд:

\[ a_5 = a_1 + (5 - 1)d \]\[ 27 = a_1 + 4 x 3 \]\[ 27 = a_1 + 12 \]\[ a_1 = 27 - 12 = 15 \]

Теперь, зная количество мест в первом ряду \( a_1 = 15 \) и разность прогрессии \( d = 3 \), найдем количество мест в последнем, 14-м ряду, по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_{14} = a_1 + (14 - 1)d \]\[ a_{14} = 15 + 13 x 3 \]\[ a_{14} = 15 + 39 \]\[ a_{14} = 54 \]

Ответ: в последнем ряду амфитеатра 54 места.