В2. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды KPRST равна 15, радиус окружности, описанной около основания, равен 12. Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.

1. Определим, что такое двугранный угол при основании пирамиды. Это угол между апофемой боковой грани и плоскостью основания.

2. Рассмотрим основание пирамиды - квадрат PRST. Пусть O - центр основания, а M - середина стороны RS. Тогда OM - радиус вписанной окружности, и OM = R/\(\sqrt{2}\), где R - радиус описанной окружности.

   \[ OM = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \]

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOM, где K - вершина пирамиды. KM - апофема, OM - радиус вписанной окружности, а угол KMO - искомый двугранный угол.

4. Найдем косинус этого угла:

   \[ \cos \angle KMO = \frac{OM}{KM} = \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{2\sqrt{2}}{5} \]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{2}}{5}\)