В августе 2023 г. планируется взять кредит в банке на сумму 536800 р. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июль каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен равными платежами (т.е. за 4 года)?

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно рассчитать сумму ежегодных равных платежей, которые позволят полностью погасить кредит за 4 года с учетом ежегодного увеличения долга на 20%.

Пусть \( S \) — первоначальная сумма кредита, \( P \) — сумма ежегодного платежа.

\( S = 536800 \) р.

Год 1:

• В январе долг увеличивается на 20%: \( S_1 = S + 0.20 × S = 1.20 × S \)

• С февраля по июль выплачивается платёж \( P \). Остаток долга после первой выплаты:

  \( S_1' = 1.20 × S - P \)

Год 2:

• В январе остаток долга увеличивается на 20%: \( S_2 = 1.20 × S_1' = 1.20 × (1.20 × S - P) = 1.20^2 × S - 1.20 × P \)

• С февраля по июль выплачивается платёж \( P \). Остаток долга после второй выплаты:

  \( S_2' = S_2 - P = 1.20^2 × S - 1.20 × P - P \)

Год 3:

• В январе остаток долга увеличивается на 20%: \( S_3 = 1.20 × S_2' = 1.20 × (1.20^2 × S - 1.20 × P - P) = 1.20^3 × S - 1.20^2 × P - 1.20 × P \)

• С февраля по июль выплачивается платёж \( P \). Остаток долга после третьей выплаты:

  \( S_3' = S_3 - P = 1.20^3 × S - 1.20^2 × P - 1.20 × P - P \)

Год 4:

• В январе остаток долга увеличивается на 20%: \( S_4 = 1.20 × S_3' = 1.20 × (1.20^3 × S - 1.20^2 × P - 1.20 × P - P) = 1.20^4 × S - 1.20^3 × P - 1.20^2 × P - 1.20 × P \)

• С февраля по июль выплачивается платёж \( P \). Кредит полностью погашен, поэтому остаток долга равен 0:

  \( S_4' = S_4 - P = 0 \)

• Таким образом, получаем уравнение:

  \[ 1.20^4 × S - P × (1.20^3 + 1.20^2 + 1.20 + 1) = 0 \]

  Выразим \( P \):

  \[ P = S × \frac{1.20^4}{1.20^3 + 1.20^2 + 1.20 + 1} \]

Теперь подставим значение \( S = 536800 \) р. и рассчитаем значение \( P \).

\( 1.20^2 = 1.44 \)

\( 1.20^3 = 1.728 \)

\( 1.20^4 = 2.0736 \)

Сумма в знаменателе (геометрическая прогрессия):

\[ 1.728 + 1.44 + 1.20 + 1 = 5.368 \]

\[ P = 536800 × \frac{2.0736}{5.368} = 536800 × 0.3863040238 \]

\[ P ≈ 207360 \]

Общая сумма выплат за 4 года составит \( 4 × P \).

\[ 4 × 207360 = 829440 \]

Ответ: Банку будет выплачено 829440 рублей.