В банк внесен вклад в размере 500 р. Выясните, через сколько лет вклад удвоится, если банк выплачивает: 8% годовых; 10%; 16%. (Воспользуйтесь калькулятором.)

Смотри, как это работает:

Решение:

Нам нужно найти количество лет \( n \), через которое вклад удвоится, то есть станет равен 1000 р.

Формула сложных процентов выглядит так:

\[ A = P (1 + r)^n \]

Где:

• \( A \) - конечная сумма (1000 р.)
• \( P \) - начальная сумма (500 р.)
• \( r \) - процентная ставка (в десятичной форме)
• \( n \) - количество лет

а) 8% годовых:

Подставляем значения:

\[ 1000 = 500 (1 + 0.08)^n \]

Делим обе части на 500:

\[ 2 = (1.08)^n \]

Чтобы найти \( n \), нужно взять логарифм обеих частей. Используем натуральный логарифм (ln):

\[ ln(2) = n \cdot ln(1.08) \]

Теперь найдем \( n \):

\[ n = \frac{ln(2)}{ln(1.08)} \]

Вычисляем:

\[ n \approx \frac{0.6931}{0.0769} \approx 9.01 \]

Округляем до целого числа, так как годы должны быть целыми.

б) 10% годовых:

Подставляем значения:

\[ 1000 = 500 (1 + 0.10)^n \]

Делим обе части на 500:

\[ 2 = (1.10)^n \]

Чтобы найти \( n \), нужно взять логарифм обеих частей. Используем натуральный логарифм (ln):

\[ ln(2) = n \cdot ln(1.10) \]

Теперь найдем \( n \):

\[ n = \frac{ln(2)}{ln(1.10)} \]

Вычисляем:

\[ n \approx \frac{0.6931}{0.0953} \approx 7.27 \]

Округляем до целого числа, так как годы должны быть целыми.

в) 16% годовых:

Подставляем значения:

\[ 1000 = 500 (1 + 0.16)^n \]

Делим обе части на 500:

\[ 2 = (1.16)^n \]

Чтобы найти \( n \), нужно взять логарифм обеих частей. Используем натуральный логарифм (ln):

\[ ln(2) = n \cdot ln(1.16) \]

Теперь найдем \( n \):

\[ n = \frac{ln(2)}{ln(1.16)} \]

Вычисляем:

\[ n \approx \frac{0.6931}{0.1484} \approx 4.67 \]

Округляем до целого числа, так как годы должны быть целыми.

Ответ: 8% - примерно 9 лет, 10% - примерно 7 лет, 16% - примерно 5 лет.