В библиотеке \frac{1}{4} всех книг - произведения классической литературы. \frac{4}{9} остатка – детективы, а остальные 1400 книг – фантастика и научно – популярная литература. Сколько всего книг в библиотеке?

Определим, какая часть всех книг приходится на детективы. Сначала определим, какая часть книг остается после классической литературы:

$$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Затем найдем \(\frac{4}{9}\) от этого остатка:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$

Следовательно, детективы составляют \(\frac{1}{3}\) всех книг.

Теперь определим, какая часть всех книг приходится на фантастику и научно-популярную литературу. Для этого вычтем из общего количества книг доли, приходящиеся на классическую литературу и детективы:

$$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{12}{12} - \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = \frac{12 - 3 - 4}{12} = \frac{5}{12}$$

Таким образом, \(\frac{5}{12}\) всех книг составляют 1400 книг. Чтобы найти общее количество книг в библиотеке, нужно разделить 1400 на эту дробь:

$$1400 : \frac{5}{12} = 1400 \cdot \frac{12}{5} = \frac{1400 \cdot 12}{5} = \frac{16800}{5} = 3360$$

Ответ: 3360