Ответ:

В слове «помириться» пишется буква и: помириться — значит прекратить ссору, восстановить мирные отношения. Слово «мирить» подходит как проверочное: оно однокоренное, без чередования, и гласная в корне находится под ударением — ми́рит.

«Мирошить» не является нормативным словом и проверочным быть не может.

Ответ: помириться; проверочное слово — мирить.