В чайник налили 1 л холодной воды при температуре 20 °С и поставили его на плиту. Когда через 5 мин. вода закипела, в чайник добавили ещё некоторое количество холодной воды, также имевшей начальную температуру 20 °С. После этого вода закипела вновь через 3 мин. Считайте, что всё выделяемое плитой количество теплоты сообщается нагреваемой воде. Плотность воды 1000 кг/м³, её удельная теплоёмкость 4200 Дж/(кг.°С). 1) Какое количество теплоты потребовалось для закипания первой порции воды в чайнике? 2) Какова мощность плиты, если она не меняется? 3) Какой объём воды добавили в чайник? Ответ дайте в литрах. Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

Для начала, давайте запишем все известные величины:

• Объем первой порции воды: $$V_1 = 1$$ л.
• Начальная температура воды: $$t_1 = 20$$ °С.
• Температура кипения воды: $$t_{кип} = 100$$ °С.
• Время нагрева первой порции: $$\Delta t_1 = 5$$ мин $$= 5 \times 60 = 300$$ с.
• Плотность воды: $$\rho = 1000$$ кг/м³.
• Удельная теплоёмкость воды: $$c = 4200$$ Дж/(кг·°С).
• Время нагрева второй порции: $$\Delta t_2 = 3$$ мин $$= 3 \times 60 = 180$$ с.

1. Количество теплоты для закипания первой порции воды:

Сначала найдем массу первой порции воды. Так как $$1$$ л воды имеет массу примерно $$1$$ кг:

Масса первой порции: $$m_1 = \rho \times V_1 = 1000$$ кг/м³ $$\times 0.001$$ м³ $$= 1$$ кг.

Теперь используем формулу для количества теплоты, необходимого для нагревания:

$$Q_1 = c \times m_1 \times (t_{кип} - t_1)$$

$$Q_1 = 4200 \text{ Дж/(кг} · °\text{С)} \times 1 \text{ кг} \times (100 \text{ } \degree\text{С} - 20 \text{ } \degree\text{С})$$

$$Q_1 = 4200 \times 1 \times 80 = 336000$$ Дж.

Ответ: Для закипания первой порции воды потребовалось 336000 Дж теплоты.

2. Мощность плиты:

Мощность (P) — это количество теплоты (Q), переданное за единицу времени (t): $$P = \frac{Q}{t}$$.

Используем данные для первой порции воды:

$$P = \frac{Q_1}{\Delta t_1} = \frac{336000 \text{ Дж}}{300 \text{ с}} = 1120$$ Вт.

Ответ: Мощность плиты составляет 1120 Вт.

3. Объём воды, который добавили:

Мощность плиты остается постоянной. Значит, количество теплоты, переданное за $$3$$ минуты (180 секунд) для закипания воды после добавления, равно:

$$Q_2 = P \times \Delta t_2 = 1120 \text{ Вт} \times 180 \text{ с} = 201600$$ Дж.

Это количество теплоты пошло на нагревание всей массы воды (первой порции + добавленной) до кипения. Начальная температура второй порции воды была $$20$$ °С, и она смешалась с первой порцией, которая уже была нагрета до $$100$$ °С. Однако, в условии задачи сказано, что после добавления воды, она закипела вновь через 3 минуты. Это означает, что теперь нагревалась вся масса воды от $$20$$ °С до $$100$$ °С.

Пусть $$m_2$$ — масса добавленной воды. Общая масса воды после добавления: $$m_{общ} = m_1 + m_2 = 1 + m_2$$ (в кг).

Количество теплоты, необходимое для нагревания всей массы воды до кипения:

$$Q_2 = c \times m_{общ} \times (t_{кип} - t_1)$$

$$201600 = 4200 \times (1 + m_2) \times (100 - 20)$$

$$201600 = 4200 \times (1 + m_2) \times 80$$

$$201600 = 336000 \times (1 + m_2)$$

$$1 + m_2 = \frac{201600}{336000} = 0.6$$

$$m_2 = 0.6 - 1 = -0.4$$ кг.

Получился отрицательный результат, что указывает на ошибку в интерпретации условия. Перечитаем: "...добавили ещё некоторое количество холодной воды, также имевшей начальную температуру 20 °С. После этого вода закипела вновь через 3 мин."

Это значит, что вся смесь (первоначальная вода + добавленная) нагрелась от $$20$$ °С до $$100$$ °С за $$3$$ минуты.

У нас есть $$Q_2 = 201600$$ Дж. Эта теплота пошла на нагревание новой массы воды $$m_{общ}$$ от $$20$$ °С до $$100$$ °С.

$$Q_2 = c \times m_{общ} \times (t_{кип} - t_1)$$

$$201600 = 4200 \times m_{общ} \times (100 - 20)$$

$$201600 = 4200 \times m_{общ} \times 80$$

$$201600 = 336000 \times m_{общ}$$

$$m_{общ} = \frac{201600}{336000} = 0.6$$ кг.

Эта $$m_{общ}$$ — это общая масса воды после добавления. Так как $$m_1 = 1$$ кг, а $$m_{общ} = 0.6$$ кг, то масса добавленной воды $$m_2 = m_{общ} - m_1 = 0.6 - 1 = -0.4$$ кг. Опять ошибка. Проблема в том, что закипела ВОДА, то есть вся масса воды. Давайте попробуем иначе.

Переосмысливаем задачу:

За $$5$$ минут нагрелась первая порция воды ($$1$$ л, $$1$$ кг) от $$20$$ °С до $$100$$ °С. Количество теплоты $$Q_1 = 336000$$ Дж.

После добавления воды, вся новая масса воды ($$m_{общ}$$) нагрелась от $$20$$ °С до $$100$$ °С за $$3$$ минуты. Количество теплоты, выделенное плитой за $$3$$ минуты, $$Q_2 = P \times \Delta t_2$$.

Мы нашли мощность плиты $$P = 1120$$ Вт.

$$Q_2 = 1120 \text{ Вт} \times 180 \text{ с} = 201600$$ Дж.

Эта теплота $$Q_2$$ нагрела новую массу воды $$m_{общ}$$ от $$20$$ °С до $$100$$ °С.

$$Q_2 = c \times m_{общ} \times (t_{кип} - t_1)$$

$$201600 = 4200 \times m_{общ} \times (100 - 20)$$

$$201600 = 4200 \times m_{общ} \times 80$$

$$201600 = 336000 \times m_{общ}$$

$$m_{общ} = \frac{201600}{336000} = 0.6$$ кг.

Это означает, что общая масса воды (первоначальная + добавленная) стала $$0.6$$ кг. Но первоначальная масса была $$1$$ кг. Это противоречие. Скорее всего, вода кипит при $$100$$ °С, а не просто нагревается до $$100$$ °С.

Давайте предположим, что $$Q_1$$ — это теплота, пошедшая на нагрев первой порции. А $$Q_2$$ — это теплота, пошедшая на нагрев ВСЕЙ воды (включая добавленную) до кипения.

$$Q_1 = 336000$$ Дж (нагрев 1 кг воды от 20 до 100 °С).

Мощность плиты $$P = Q_1 / \Delta t_1 = 336000 / 300 = 1120$$ Вт.

За $$3$$ минуты (180 с) плита выделила $$Q_{доп} = P \times \Delta t_2 = 1120 \times 180 = 201600$$ Дж.

Эта $$Q_{доп}$$ пошла на нагревание новой массы воды ($$m_{добавл}$$) от $$20$$ °С до $$100$$ °С.

$$Q_{доп} = c \times m_{добавл} \times (t_{кип} - t_1)$$

$$201600 = 4200 \times m_{добавл} \times (100 - 20)$$

$$201600 = 4200 \times m_{добавл} \times 80$$

$$201600 = 336000 \times m_{добавл}$$

$$m_{добавл} = \frac{201600}{336000} = 0.6$$ кг.

Объем воды, который добавили, равен массе, так как плотность воды $$1$$ кг/л.

Ответ: Добавили 0.6 л воды.

Окончательные ответы:

1) Какое количество теплоты потребовалось для закипания первой порции воды в чайнике?

$$Q_1 = 336000$$ Дж.

2) Какова мощность плиты, если она не меняется?

$$P = 1120$$ Вт.

3) Какой объём воды добавили в чайник? Ответ дайте в литрах.

$$V_{добавл} = 0.6$$ л.