В чайник налили 2 л холодной воды при температуре 20 °С и поставили его на плиту. Когда через 10 мин. вода закипела, в чайник добавили ещё некоторое количество холодной воды, также имевшей начальную температуру 20 °С. После этого вода закипела вновь через 5 мин. Считайте, что всё выделяемое плитой количество теплоты сообщается нагреваемой воде. Плотность воды 1000 кг/м³, её удельная теплоёмкость 4200 Дж/(кг·°С). 1) Какое количество теплоты потребовалось для закипания первой порции воды в чайнике? 2) Какова мощность плиты, если она не меняется? 3) Какой объём воды добавили в чайник? Ответ дайте в литрах. Напишите полное решение этой задачи.

Разбор задачи:

Эта задача на тепловые явления. Нам нужно рассчитать количество теплоты, мощность плиты и объем добавленной воды. Будем использовать формулы для расчета количества теплоты и мощности.

Дано:

• Объем первой порции воды: $$V_1 = 2$$ л
• Начальная температура воды: $$T_{нач} = 20$$ °С
• Конечная температура воды (температура кипения): $$T_{кип} = 100$$ °С
• Время нагрева первой порции: $$t_1 = 10$$ мин $$= 600$$ с
• Время нагрева второй порции (с добавленной водой): $$t_2 = 5$$ мин $$= 300$$ с
• Плотность воды: $$ ho = 1000$$ кг/м³
• Удельная теплоёмкость воды: $$c = 4200$$ Дж/(кг·°С)
• Мощность плиты: $$P$$ (неизменна)

Найти:

1. Количество теплоты для первой порции: $$Q_1$$
2. Мощность плиты: $$P$$
3. Объем добавленной воды: $$V_{доп}$$

Решение:

1. Расчет количества теплоты для закипания первой порции воды ($$Q_1$$):

   Сначала переведем объем первой порции воды из литров в кубические метры:

   $$V_1 = 2$$ л $$= 0.002$$ м³

   Теперь найдем массу первой порции воды:

   $$m_1 = ho imes V_1 = 1000$$ кг/м³ $$ imes 0.002$$ м³ $$= 2$$ кг

   Количество теплоты, необходимое для нагрева воды, рассчитывается по формуле:

   $$Q = c imes m imes igtriangleup T$$

   Где $$igtriangleup T = T_{кип} - T_{нач}$$

   $$igtriangleup T = 100$$ °С $$- 20$$ °С $$= 80$$ °С

   $$Q_1 = 4200$$ Дж/(кг·°С) $$ imes 2$$ кг $$ imes 80$$ °С $$= 672000$$ Дж

2. Расчет мощности плиты ($$P$$):

   Мощность плиты равна количеству теплоты, которое она выделяет за единицу времени. Поскольку вся теплота идет на нагрев воды, то:

   $$P = rac{Q_1}{t_1}$$

   $$P = rac{672000 ext{ Дж}}{600 ext{ с}} = 1120$$ Вт

3. Расчет объема добавленной воды ($$V_{доп}$$):

   Когда добавили еще воды, общая масса воды стала $$m_{общ} = m_1 + m_{доп}$$. Время нагрева этой новой порции составило $$t_2 = 5$$ мин. Количество теплоты, выделенное плитой за это время, равно:

   $$Q_{общ} = P imes t_2 = 1120$$ Вт $$ imes 300$$ с $$= 336000$$ Дж

   Это количество теплоты пошло на нагрев всей воды (первой порции + добавленной) от 20 °С до 100 °С. Обозначим массу добавленной воды как $$m_{доп}$$.

   $$Q_{общ} = c imes (m_1 + m_{доп}) imes igtriangleup T$$

   $$336000$$ Дж $$= 4200$$ Дж/(кг·°С) $$ imes (2 ext{ кг} + m_{доп}) imes 80$$ °С

   $$336000 = 336000 imes (2 + m_{доп})$$

   Отсюда:

   $$1 = 2 + m_{доп}$$

   Это означает, что $$m_{доп} = -1$$ кг, что физически невозможно. Проверим условие задачи.

   В условии задачи ошибка: время нагрева второй порции (5 мин) меньше времени нагрева первой порции (10 мин), при этом добавлена вода. Это означает, что мощность плиты должна была быть выше, либо время нагрева должно было быть больше. Перечитаем условие.

   Предположение: Возможно, в условии задачи время нагрева второй порции указано неверно, или же имеется в виду, что общая масса воды нагрелась за 5 минут, но это также противоречиво. Давайте предположим, что задача подразумевает, что 5 минут - это время, за которое плита выделила количество теплоты, достаточное для нагрева добавленной воды до кипения, при той же мощности.

   Переформулируем 3-й пункт, предполагая, что $$Q_{доп}$$ - это теплота, выделенная за 5 минут, которая пошла на нагрев добавленной воды:

   $$Q_{доп} = P imes t_2 = 1120$$ Вт $$ imes 300$$ с $$= 336000$$ Дж

   Эта теплота пошла на нагрев добавленной воды от 20 °С до 100 °С.

   $$Q_{доп} = c imes m_{доп} imes igtriangleup T$$

   $$336000$$ Дж $$= 4200$$ Дж/(кг·°С) $$ imes m_{доп} imes 80$$ °С

   $$336000 = 336000 imes m_{доп}$$

   $$m_{доп} = 1$$ кг

   Теперь найдем объем добавленной воды:

   $$V_{доп} = rac{m_{доп}}{ ho} = rac{1 ext{ кг}}{1000 ext{ кг/м³}} = 0.001$$ м³

   Переведем объем в литры:

   $$V_{доп} = 0.001$$ м³ $$= 1$$ л

   Важное замечание: Эта интерпретация решает задачу, но она отличается от буквального прочтения условия, где 5 минут - это время закипания *всей* воды (первой порции + добавленной).

   Если же считать, что 5 минут - это время закипания всей воды, то:

   Общее количество теплоты, выделенное плитой за 5 минут ($$t_2$$):

   $$Q_{общ} = P imes t_2 = 1120$$ Вт $$ imes 300$$ с $$= 336000$$ Дж

   Это количество теплоты пошло на нагрев общей массы воды ($$m_{общ} = m_1 + m_{доп}$$) от 20 °С до 100 °С:

   $$Q_{общ} = c imes (m_1 + m_{доп}) imes igtriangleup T$$

   $$336000$$ Дж $$= 4200$$ Дж/(кг·°С) $$ imes (2 ext{ кг} + m_{доп}) imes 80$$ °С

   $$336000 = 336000 imes (2 + m_{доп})$$

   $$1 = 2 + m_{доп}$$

   $$m_{доп} = -1$$ кг. Этот вариант решения невозможен.

   Поэтому принимаем первый вариант интерпретации, где 5 минут - это время, за которое плита выделила теплоту для нагрева *добавленной* воды.

Ответ:

1) Количество теплоты, потребовавшееся для закипания первой порции воды: 672000 Дж.

2) Мощность плиты: 1120 Вт.

3) Объем добавленной воды: 1 л.