В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из Болгарии, 5 из Венгрии, остальные из Румынии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая второй, окажется из Румынии.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по теории вероятностей.

Дано:

• Всего спортсменок: 20
• Из Болгарии: 8
• Из Венгрии: 5

Найти:

• Вероятность того, что вторая выступающая спортсменка из Румынии.

Решение:

1. Сначала найдем, сколько спортсменок из Румынии.
   
   Всего спортсменок - спортсменки из Болгарии - спортсменки из Венгрии = спортсменки из Румынии.
   
   $$20 - 8 - 5 = 7$$
   
   Итак, из Румынии 7 спортсменок.


2. Теперь определим вероятность.
   
   Для того чтобы вторая выступающая спортсменка оказалась из Румынии, нам нужно рассмотреть два случая:

• Случай 1: Первая выступающая спортсменка НЕ из Румынии.
  
  Общее количество спортсменок, которые НЕ из Румынии: 8 (Болгария) + 5 (Венгрия) = 13.
  
  Вероятность того, что первая НЕ из Румынии: $$P(\text{первая не из Румынии}) = \frac{13}{20}$$
  
  Если первая НЕ из Румынии, то для второго выступления остаются 19 спортсменок, из которых 7 из Румынии.
  
  Вероятность того, что вторая из Румынии (при условии, что первая не из Румынии): $$P(\text{вторая из Румынии | первая не из Румынии}) = \frac{7}{19}$$
  
  Вероятность этого случая: $$P(\text{случай 1}) = \frac{13}{20} \times \frac{7}{19} = \frac{91}{380}$$


• Случай 2: Первая выступающая спортсменка из Румынии.
  
  Вероятность того, что первая из Румынии: $$P(\text{первая из Румынии}) = \frac{7}{20}$$
  
  Если первая из Румынии, то для второго выступления остаются 19 спортсменок, из которых 6 из Румынии.
  
  Вероятность того, что вторая из Румынии (при условии, что первая из Румынии): $$P(\text{вторая из Румынии | первая из Румынии}) = \frac{6}{19}$$
  
  Вероятность этого случая: $$P(\text{случай 2}) = \frac{7}{20} \times \frac{6}{19} = \frac{42}{380}$$

Общая вероятность того, что вторая выступающая спортсменка окажется из Румынии, равна сумме вероятностей этих двух случаев:

$$P(\text{вторая из Румынии}) = P(\text{случай 1}) + P(\text{случай 2})$$

$$P(\text{вторая из Румынии}) = \frac{91}{380} + \frac{42}{380} = \frac{133}{380}$$

Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$$\frac{133}{380} = \frac{133 \div 7}{380 \div 7} = \frac{19}{?}$$

А, нет, 380 не делится на 7. Давай проверим, делится ли 133 на 19. Да, $$19 \times 7 = 133$$. Значит, 133 делится на 19.

Проверим, делится ли 380 на 19. $$380 / 19 = 20$$.

Итак, дробь сокращается:

$$\frac{133}{380} = \frac{19 \times 7}{19 \times 20} = \frac{7}{20}$$

Простой способ:

На самом деле, порядок выступлений определяется жребием, и каждая спортсменка имеет равные шансы оказаться на любом месте. Поэтому вероятность того, что на втором месте окажется спортсменка из Румынии, точно такая же, как если бы мы спрашивали вероятность того, что на первом месте (или на любом другом) окажется спортсменка из Румынии.

Количество спортсменок из Румынии = 7.

Общее количество спортсменок = 20.

Вероятность = (Количество спортсменок из Румынии) / (Общее количество спортсменок)

$$P(\text{вторая из Румынии}) = \frac{7}{20}$$

Ответ: $$\frac{7}{20}$$