9. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке М, причем ВМ = DM = ВС. На отрезке АМ отметили такую точку К, что АК = СМ. Докажите, что ВК = AD.

Для доказательства равенства отрезков ВК и AD в четырехугольнике ABCD, где диагонали пересекаются в точке M, и дано BM = DM = BC, а также AK = CM, можно использовать свойства параллелограммов и равенства треугольников.

Доказательство:

1. Так как BM = DM, то точка M является серединой диагонали BD.

2. Рассмотрим треугольники BMC и DMA. У них:

   • BM = DM (по условию),
   • ∠BMC = ∠DMA (как вертикальные углы).

   Для доказательства равенства этих треугольников нам не хватает еще одного условия. Однако, мы можем ввести дополнительные построения или использовать другие свойства четырехугольника.

3. Дополнительное построение и предположение:

   • Предположим, что четырехугольник ABCD - параллелограмм. Тогда AD = BC и AD || BC.
   • Так как BM = BC и AD = BC, то BM = AD.

4. Рассмотрим треугольники ABM и CDM. У них:

   • BM = DM (по условию),
   • AM = CM + AC = AK + AC,
   • ∠BMA = ∠DMC (вертикальные углы).

Используем условие AK = CM.

• AM = AK + KM
• MC = CM

5. Если доказать, что треугольники ABK и CDM равны, то можно сделать вывод о равенстве ВК и AD.

Для строгого доказательства равенства ВК = AD, необходимо дополнительное условие или другой подход, учитывая, что из условия BM = DM = BC напрямую не следует, что ABCD параллелограмм. Необходимо доказать равенство треугольников ABK и CDM, используя заданные условия.

Так как представлено недостаточно информации для строгого доказательства в рамках школьной программы, невозможно с уверенностью доказать, что ВК = AD, без дополнительных предположений о свойствах четырехугольника ABCD (например, что он является параллелограммом или трапецией с определенными свойствами).

Ответ: Требуется дополнительная информация или условия для строгого доказательства, что ВК = AD.