В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM = CN. Известно, что BM = DN и BM ∥ DN. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим четырёхугольник BMDN. Его противоположные стороны BM и DN равны и параллельны, поэтому BMDN — параллелограмм.
2. Диагонали параллелограмма BMDN — BD и MN — делятся точкой пересечения пополам.
3. Поскольку M и N лежат на AC и AM = CN, середина MN совпадает с серединой AC. Значит, точка O, середина MN, также является серединой BD.
4. Итак, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD делятся точкой O пополам. Четырёхугольник, диагонали которого делятся пополам, является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.