В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC и ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Из равенства ∠BAC = ∠ACD следует, что прямые AB и CD параллельны: это накрест лежащие углы при секущей AC.

Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: AO = OC (дано), ∠BAO = ∠OCD (дано), а ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.

Из равенства треугольников получаем OB = OD. Значит, диагонали AC и BD делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.