В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что BO = OD и ∠ABD = ∠BDC. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Из равенства ∠ABD = ∠BDC следует, что прямые AB и CD параллельны: это накрест лежащие углы при секущей BD.

Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: BO = OD (дано), ∠ABO = ∠CDO (дано), а ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.

Из равенства треугольников получаем AO = OC. Следовательно, диагонали AC и BD делятся точкой O пополам, а значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.