В четырёхугольнике ABCD \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), O — точка пересечения диагоналей. Прямая m проходит через точку O и пересекает стороны BC и AD в точках M и N соответственно. Среди векторов \(\overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{MC},\ \overrightarrow{AN},\ \overrightarrow{DN},\ \overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{NC}\) найдите: а) коллинеарные векторы; б) сонаправленные векторы; в) противоположные векторы; г) равные векторы; д) векторы, имеющие равные длины.

Так как \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), четырёхугольник ABCD является параллелограммом. Поэтому \(AD\parallel BC\), а точка O — центр симметрии параллелограмма.

Точки M и N лежат на параллельных сторонах BC и AD, поэтому векторы, направленные вдоль этих сторон, имеют одинаковое или противоположное направление. Кроме того, из симметрии относительно точки O следует:

\(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}\), а также \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\).

1. Коллинеарные векторы: \(\overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{MC},\ \overrightarrow{AN},\ \overrightarrow{DN}\); также \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{NC}\).
2. Сонаправленные векторы: \(\overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{MC},\ \overrightarrow{AN}\); также \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{NC}\).
3. Противоположные векторы: \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{DN}\); \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{DN}\); \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{DN}\).
4. Равные векторы: \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}\); \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\).
5. Векторы, имеющие равные длины: \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{DN}\); \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{AN}\); \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{NC}\).

Ответ: а) \(BM, MC, AN, DN\); \(AM, NC\). б) \(BM, MC, AN\); \(AM, NC\). в) \(BM\) и \(DN\); \(MC\) и \(DN\); \(AN\) и \(DN\). г) \(MC=AN\), \(AM=NC\). д) пары \(BM,DN\); \(MC,AN\); \(AM,NC\).