В четырёхугольнике ABCD стороны АВ и AD равны, а сторона ВС в два раза длиннее стороны DC. Известны величины углов при вершинах А и D: ∠BAD = 100°, ∠ADC = 130°. Найдите величину угла при вершине B. ZABC =

Решение:

• Шаг 1: Так как стороны \( AB \) и \( AD \) равны, треугольник \( ABD \) – равнобедренный. Значит углы при основании \( BD \) равны.
• Шаг 2: Найдем углы при основании \( BD \) в треугольнике \( ABD \): \[\frac{180° - ∠BAD}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°\]
• Шаг 3: Значит, \( ∠ABD = ∠ADB = 40° \).
• Шаг 4: Найдем угол \( ∠BDC \): \[∠BDC = ∠ADC - ∠ADB = 130° - 40° = 90°\]
• Шаг 5: Пусть сторона \( DC = x \), тогда сторона \( BC = 2x \). Рассмотрим треугольник \( BDC \).
• Шаг 6: В треугольнике \( BDC \) известны стороны \( BC = 2x \), \( DC = x \) и угол \( ∠BDC = 90° \). Используем теорему синусов: \[\frac{BC}{\sin(∠BDC)} = \frac{DC}{\sin(∠DBC)}\] \[\frac{2x}{\sin(90°)} = \frac{x}{\sin(∠DBC)}\] \[\sin(∠DBC) = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\]
• Шаг 7: Значит, \( ∠DBC = 30° \).
• Шаг 8: Найдем угол \( ∠ABC \): \[∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 40° + 30° = 70°\]

Ответ: 70°