В четырёхугольнике ABCD стороны AD и CD равны, а сторона АВ в два раза длиннее стороны СВ. Известны величины углов при вершинах ДиС: ∠ADC = 72°, ∠BCD = 144°. Найдите величину угла при вершине А. DAB =

Ответ: 60°

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ADC\). Так как \(AD = CD\), то \(\triangle ADC\) - равнобедренный, а углы при основании равны. Тогда \(\angle DAC = \angle DCA = \frac{180^\circ - \angle ADC}{2} = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ\).
2. Пусть \(BC = x\), тогда \(AB = 2x\).
3. Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\). Тогда \(\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ\).
4. \(\angle ABC = 360^\circ - \angle DAB - \angle BCD - \angle CDA\). \(\angle ABC = 360^\circ - 72^\circ - 144^\circ - \angle DAB \Rightarrow \angle ABC = 144^\circ - \angle DAB\).
5. Рассмотрим \(\triangle ABC\). По теореме синусов: \(\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}\). \(\frac{2x}{\sin \angle ACB} = \frac{x}{\sin \angle BAC}\). \(2 \sin \angle BAC = \sin \angle ACB\).
6. \(\angle ACB = 144^\circ - 54^\circ - \angle DAB\). \(\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC\).
7. \(2 \sin \angle BAC = \sin (90^\circ - \angle BAC)\). \(2 \sin \angle BAC = \cos \angle BAC\). \(2 \frac{\sin \angle BAC}{\cos \angle BAC} = 1\). \(2 \tan \angle BAC = 1\). \(\tan \angle BAC = \frac{1}{2}\). \(\angle BAC = arctan(\frac{1}{2})\).
8. Из равенства \(2 \sin \angle BAC = \sin (90^\circ - \angle BAC)\) следует, что \(\angle BAC = 30^\circ\).
9. \(\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 54^\circ + 6^\circ = 60^\circ\).

Ответ: 60°