3. В четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – равнобедренная трапеция с основаниями AD = 14, ВС = 4 и боковой стороной, равной 13. SA = SD = √193, SB = SC = 2√37. Найдите расстояние от вершины А до плоскости (SBC).

Решение:

1. Пусть $$BH$$ – высота трапеции $$ABCD$$, опущенная из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{14 - 4}{2} = 5$$.
2. Из прямоугольного треугольника $$ABH$$ найдем высоту трапеции: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$.
3. Площадь трапеции $$ABCD$$ равна: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{4 + 14}{2} \cdot 12 = 108$$.
4. Так как $$SB = SC$$, то $$S$$ проектируется на середину $$BC$$, то есть $$SO \perp BC$$, где $$O$$ - середина $$BC$$. Аналогично, $$S$$ проектируется на середину $$AD$$.
5. Найдем $$SO$$. Треугольник $$SBC$$ равнобедренный, $$SB = SC = 2\sqrt{37}$$. $$BO = OC = \frac{BC}{2} = 2$$. Тогда $$SO = \sqrt{SB^2 - OC^2} = \sqrt{(2\sqrt{37})^2 - 2^2} = \sqrt{148 - 4} = \sqrt{144} = 12$$.
6. Найдем $$AO$$. Треугольник $$SAD$$ равнобедренный, $$SA = SD = \sqrt{193}$$. $$AO = \frac{AD}{2} = 7$$. Тогда $$SО = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{193})^2 - 7^2} = \sqrt{193 - 49} = \sqrt{144} = 12$$.
7. Площадь треугольника $$SBC$$ равна: $$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$$.
8. Площадь треугольника $$SAD$$ равна: $$S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$$.
9. Так как $$SA = SD$$ и $$SB = SC$$, то $$S$$ проектируется на перпендикуляр к $$BC$$ и $$AD$$.
10. Так как $$ABCD$$ – равнобедренная трапеция, то углы при основании $$AD$$ равны, а значит, $$S$$ проектируется на высоту трапеции.
11. Чтобы найти расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$(SBC)$$, нужно знать объем пирамиды и площадь основания.
12. Найдем площадь треугольника $$SBC$$.

Решение будет продолжено, когда будет известна высота пирамиды.

К сожалению, по имеющимся данным в задаче, я не могу найти расстояние от вершины А до плоскости (SBC). В условии не хватает данных о высоте пирамиды или других параметрах, которые позволили бы определить положение вершины S относительно плоскости основания ABCD.

Ответ: нет решения.