В четырёхугольной пирамиде SABCD стороны основания - 5 и 4см, а площадь боковой поверхности равна 54кв.см. Вычислить длину апофемы SK.

Решение:

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами \( a = 5 \text{ см} \) и \( b = 4 \text{ см} \).

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырёх боковых граней. Так как основание — прямоугольник, то противоположные грани равны.

Пусть \( h_1 \) — апофема грани, прилежащей к стороне \( a \), а \( h_2 \) — апофема грани, прилежащей к стороне \( b \).

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) вычисляется по формуле:

\[ S_{бок} = 2 \cdot \frac{1}{2} a h_1 + 2 \cdot \frac{1}{2} b h_2 = a h_1 + b h_2 \]\[ 54 = 5 h_1 + 4 h_2 \]

Нам нужно найти апофему \( SK \). Апофема \( SK \) — это высота боковой грани, которая опирается на сторону основания. В условии не указано, к какой именно грани относится апофема \( SK \). Предположим, что \( SK \) — апофема грани, опирающейся на сторону основания длиной 4 см.

Пусть \( h_2 \) — это искомая апофема \( SK \).

Также, в четырёхугольной пирамиде, если основание — прямоугольник, то апофемы боковых граней могут быть разными. Однако, если пирамида правильная, то апофемы всех боковых граней равны.

Если предположить, что имеется в виду правильная пирамида, то апофемы равны \( h_1 = h_2 = h \).

\[ 54 = 5h + 4h = 9h \]\[ h = \frac{54}{9} = 6 \text{ см} \]

Если же пирамида не правильная, и \( SK \) — апофема грани, опирающейся на сторону 4 см, то мы имеем лишь одно уравнение с двумя неизвестными \( h_1 \) и \( h_2 \):

\[ 5 h_1 + 4 h_2 = 54 \]

Чтобы найти \( SK \), нам нужна дополнительная информация. Предполагая, что речь идёт о правильной пирамиде, апофема будет 6 см.

Ответ: 6 см.