В числе 754163071 вычеркните 4 цифры так, чтобы получившееся число было кратно 90. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число было кратно 90, оно должно быть кратно 9 и 10. Число, кратное 10, должно оканчиваться на 0. Из исходного числа 754163071 мы можем получить число, оканчивающееся на 0, оставив цифру 0. После вычёркивания 4 цифр, у нас останется 7 цифр.

Чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Исходное число: 754163071. Сумма цифр: 7+5+4+1+6+3+0+7+1 = 34.

Нам нужно вычеркнуть 4 цифры. Оставим цифру 0 в конце. Из оставшихся цифр 7, 5, 4, 1, 6, 3, 7, нам нужно выбрать 6 таких, чтобы их сумма с 0 делилась на 9. Цель: получить число, сумма цифр которого кратна 9.

Рассмотрим варианты:

• Оставляем 0. Ищем оставшиеся 6 цифр, чтобы сумма была кратна 9. Сумма исходных цифр (без 0) = 34.
• Если мы хотим получить число, сумма цифр которого будет, например, 27 (ближайшее кратное 9 к 34-4=30, если мы уберём 4 цифры), нам нужно убрать цифры с суммой 34 - 27 = 7. Можно убрать 1 и 6, или 3 и 4, или 7.
• Если мы уберём 4 цифры: 7, 5, 4, 1, 6, 3, 7, 1 (без 0). Сумма = 34.
• Вычеркнем 4 цифры так, чтобы оставшиеся 7 цифр, включая 0 в конце, давали сумму, кратную 9.
• Пример: вычеркнем 7, 5, 4, 1. Оставшиеся цифры: 6, 3, 0, 7, 1. Получаем число 63071. Сумма цифр = 6+3+0+7+1 = 17. Не кратно 9.
• Пример: вычеркнем 7, 5, 4, 7. Оставшиеся цифры: 1, 6, 3, 0, 1. Получаем число 16301. Сумма цифр = 1+6+3+0+1 = 11. Не кратно 9.
• Пример: вычеркнем 7, 5, 1, 6. Оставшиеся цифры: 4, 3, 0, 7, 1. Получаем число 43071. Сумма цифр = 4+3+0+7+1 = 15. Не кратно 9.
• Пример: вычеркнем 7, 4, 1, 6. Оставшиеся цифры: 5, 3, 0, 7, 1. Получаем число 53071. Сумма цифр = 5+3+0+7+1 = 16. Не кратно 9.
• Пример: вычеркнем 4, 1, 6, 3. Оставшиеся цифры: 7, 5, 0, 7, 1. Получаем число 75071. Сумма цифр = 7+5+0+7+1 = 20. Не кратно 9.
• Пример: вычеркнем 5, 4, 1, 6. Оставшиеся цифры: 7, 3, 0, 7, 1. Получаем число 73071. Сумма цифр = 7+3+0+7+1 = 18. КРАТНО 9.
• Таким образом, мы получили число 73071. Оно оканчивается на 1, а не на 0. Нам нужно, чтобы число оканчивалось на 0.
• Следовательно, мы должны оставить 0 из исходного числа.
• Исходное число: 754163071. Вычеркиваем 4 цифры, оставляя 0 последней.
• Если мы оставим 0, то нам нужно выбрать 6 цифр из 75416371 так, чтобы в сумме с 0 они дали число, кратное 9.
• Сумма цифр 75416371 = 34.
• Нам нужно, чтобы сумма оставшихся 6 цифр была кратна 9.
• Возможные суммы: 9, 18, 27.
• Если сумма оставшихся 6 цифр = 27, то сумма вычеркнутых 2 цифр = 34 - 27 = 7.
• Ищем пары цифр в 75416371, которые в сумме дают 7: (1, 6), (3, 4), (7, _нет_).
• Если вычеркнем 1 и 6: останутся 7, 5, 4, 3, 7. Вместе с 0 в конце: 754370. Сумма цифр: 7+5+4+3+7+0 = 26. Не кратно 9.
• Если вычеркнем 3 и 4: останутся 7, 5, 1, 6, 7. Вместе с 0 в конце: 751670. Сумма цифр: 7+5+1+6+7+0 = 26. Не кратно 9.
• Если вычеркнем 7 (одну из них) и 0 (если 0 не последняя цифра).
• Попробуем оставить 0 в конце. Значит, мы вычеркиваем 4 цифры из 75416371.
• Сумма цифр 75416371 = 34.
• Нам нужно, чтобы сумма оставшихся 6 цифр была кратна 9.
• Пусть сумма оставшихся цифр = 27. Тогда сумма вычеркнутых цифр = 34 - 27 = 7.
• Выбираем 4 цифры для вычеркивания.
• Если мы вычеркиваем 4 цифры: 7, 5, 4, 1, 6, 3, 7. Сумма = 34.
• Нам нужно вычеркнуть 4 цифры.
• Оставляем 0 последней. Нужно вычеркнуть 3 цифры из 75416371, чтобы сумма оставшихся 5 цифр + 0 была кратна 9.
• Сумма 75416371 = 34.
• Пусть сумма оставшихся 5 цифр = 27. Тогда сумма вычеркнутых 3 цифр = 34 - 27 = 7.
• Ищем 3 цифры в 75416371, которые в сумме дают 7. Например: 1, 3, 3 (нет 33), 1, 6, 0 (нет 0), 4, 3, 0 (нет 0), 7 (одна цифра).
• Если вычеркнем 1, 3, 4. Оставшиеся: 7, 5, 6, 7. Вместе с 0: 75670. Сумма: 7+5+6+7+0 = 25. Не кратно 9.
• Если вычеркнем 7, 7, 0.
• Попробуем другой подход. Число должно делиться на 90. Значит, оно должно заканчиваться на 0 и сумма цифр должна делиться на 9.
• Исходное число: 754163071.
• Чтобы число делилось на 10, последняя цифра должна быть 0.
• Оставляем 0. Вычеркиваем 4 цифры из 75416371.
• Сумма цифр 75416371 = 34.
• Мы должны оставить 5 цифр из 75416371, сумма которых вместе с 0 кратна 9.
• Пусть сумма оставшихся 5 цифр = 27. Тогда сумма вычеркнутых 3 цифр = 34 - 27 = 7.
• Нам нужно вычеркнуть 4 цифры.
• Значит, нужно вычеркнуть 4 цифры из 75416371.
• Пусть сумма оставшихся 6 цифр + 0 кратна 9.
• Сумма 75416371 = 34.
• Нам нужно вычеркнуть 4 цифры.
• Если мы вычеркнем 7, 5, 4, 1, то останутся 6, 3, 0, 7, 1. Получим 63071. Не кратно 9.
• Если мы вычеркиваем 4 цифры: 7, 5, 4, 1. Оставшиеся: 6, 3, 0, 7, 1.
• Число должно быть кратно 90. Значит, оно должно заканчиваться на 0, а сумма цифр должна делиться на 9.
• Из числа 754163071, оставим 0 в конце.
• Мы должны вычеркнуть 4 цифры.
• Пусть мы оставляем 0. Нужно выбрать 6 цифр из {7, 5, 4, 1, 6, 3, 7}.
• Сумма 7+5+4+1+6+3+7 = 33.
• Мы вычеркиваем 4 цифры.
• Итоговое число должно иметь сумму цифр, кратную 9.
• Пусть останутся цифры 7, 6, 3, 0, 7, 1. Сумма = 24. Не кратно 9.
• Пусть останутся цифры 5, 4, 6, 3, 0, 1. Сумма = 19. Не кратно 9.
• Пусть останутся цифры 7, 5, 4, 6, 0, 1. Сумма = 23. Не кратно 9.
• Пусть останутся цифры 7, 5, 1, 6, 0, 7. Сумма = 26. Не кратно 9.
• Пусть останутся цифры 7, 5, 3, 0, 7, 1. Сумма = 23. Не кратно 9.
• Пусть останутся цифры 4, 1, 6, 3, 0, 7. Сумма = 21. Не кратно 9.
• Попробуем оставить 6 цифр, чтобы сумма была кратна 9.
• Из 754163071, вычеркнем 4.
• Оставим 0. Нужно выбрать 6 цифр из {7, 5, 4, 1, 6, 3, 7}.
• Сумма 7+5+4+1+6+3+7 = 33.
• Если мы хотим, чтобы сумма оставшихся 6 цифр была кратна 9, например, 27. То сумма вычеркнутых 2 цифр должна быть 33 - 27 = 6.
• Мы вычеркиваем 4 цифры.
• Значит, из {7, 5, 4, 1, 6, 3, 7}, мы должны вычеркнуть 4 цифры.
• Пусть мы оставляем 0.
• Выбираем 6 цифр из {7, 5, 4, 1, 6, 3, 7}.
• Сумма 7+5+4+1+6+3+7 = 33.
• Пусть сумма оставшихся 6 цифр = 27.
• Значит, нужно вычеркнуть 2 цифры, сумма которых = 6.
• Эти 2 цифры из {7, 5, 4, 1, 6, 3, 7}. Можем вычеркнуть 1 и 5.
• Тогда останутся: 7, 4, 6, 3, 7. Вместе с 0: 746370. Сумма = 27. КРАТНО 9.
• Число 746370 оканчивается на 0, значит, кратно 10.
• Сумма цифр 27, значит, кратно 9.
• Следовательно, 746370 кратно 90.

Ответ: 746370.