В12 Дана правильная несократимая дробь. При делении ее знаменателя на числитель неполное частное равно 8, а остаток равен 3. Если числитель дроби увеличить на 75 %, то полученная дробь будет равна \frac{1}{5}. Найдите наименьшее общее кратное числителя и знаменателя исходной дроби.

Обозначим числитель исходной дроби как $$a$$, а знаменатель как $$b$$. Из условия задачи известно, что при делении знаменателя на числитель неполное частное равно 8, а остаток равен 3. Это можно записать в виде:

$$b = 8a + 3$$

Также известно, что если числитель дроби увеличить на 75 %, то полученная дробь будет равна $$\frac{1}{5}$$. Это можно записать следующим образом:

$$\frac{a + 0.75a}{b} = \frac{1}{5}$$

$$\frac{1.75a}{b} = \frac{1}{5}$$

$$\frac{\frac{7}{4}a}{b} = \frac{1}{5}$$

$$b = \frac{35}{4}a$$

Теперь у нас есть два уравнения для $$b$$:

$$b = 8a + 3$$

$$b = \frac{35}{4}a$$

Приравняем их:

$$8a + 3 = \frac{35}{4}a$$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$32a + 12 = 35a$$

$$3a = 12$$

$$a = 4$$

Теперь найдем $$b$$:

$$b = 8 \times 4 + 3 = 32 + 3 = 35$$

Исходная дробь равна $$\frac{4}{35}$$. Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителя и знаменателя:

$$НОК(4, 35) = 4 \times 35 / НОД(4,35)$$

$$НОД(4,35) = 1$$

$$НОК(4, 35) = 4 \times 35 = 140$$

Ответ: 140