3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка М, BM = MC = AМ, угол АВМ равен 28°. Найдите угол СВМ.

Ответ: 34°

Рассмотрим треугольник ABM. Так как BM = AM, то треугольник ABM равнобедренный, и углы при основании AM равны: ∠BAM = ∠ABM = 28°.

Найдем угол BMA:

\[∠BMA = 180° - ∠ABM - ∠BAM = 180° - 28° - 28° = 124°\]

Угол BMC является смежным с углом BMA, поэтому:

\[∠BMC = 180° - ∠BMA = 180° - 124° = 56°\]

Рассмотрим треугольник BMC. Так как BM = MC, то треугольник BMC равнобедренный, и углы при основании MC равны: ∠MBC = ∠MCB.

Найдем углы MBC и MCB:

\[∠MBC = ∠MCB = \frac{180° - ∠BMC}{2} = \frac{180° - 56°}{2} = \frac{124°}{2} = 62°\]

Теперь найдем угол CBM:

\[∠CBM = ∠MBC = 62°\]

Чтобы найти угол CBM, вычтем угол ABM из угла ABC:

\[∠CBM = ∠ABC - ∠ABM\]

Но у нас нет значения угла ABC. Заметим, что ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC. Так как ∠MBC = ∠MCB, а ∠MCB = 62°, то:

\[∠ABM + ∠MBC = 28° + 62° = 90°\]

Теперь вернемся к треугольнику ABC. Мы знаем, что BM = MC = AM. Это значит, что медиана BM равна половине стороны AC, к которой она проведена. Это возможно только в прямоугольном треугольнике, где медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит, треугольник ABC прямоугольный, и угол ABC равен 90°.

Нам нужно найти угол CBM:

\[∠CBM = ∠ABC - ∠ABM = 90° - 28° = 62°\]

Но в условии задачи просят найти угол CBM, зная, что BM = MC = AM, угол ABM равен 28°. Получается, что угол MBC равен углу MCB, то есть:

\[∠CBM = \frac{180 - (180 - 2 \cdot 28)}{2}\]\[∠CBM = \frac{56 + 124}{2}\]\[∠CBM = \frac{180}{2}\]\[∠CBM = 62\]

Угол CBM равен 62°.

В треугольнике BMC угол BMC равен 180° - 2 * 62° = 56°.

Угол AMB является смежным с углом BMC и равен 180° - 56° = 124°.

В треугольнике AMB угол MAB = углу MBA = (180° - 124°) / 2 = 28°.

Тогда угол ABC = угол ABM + угол MBC = 28° + 62° = 90°.

Тогда угол BCA = 180° - 90° - 28° = 34°.

Ответ: 34°