в) $\displaystyle\int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx$

Question

Вопрос: $Фото задания: в) $\displaystyle\int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx$$ Фото задания

Accepted Answer

Упростим подынтегральное выражение:

\[\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}=6x^2-4x+7-\frac{1}{x^2}.\]

Найдём первообразную:

\[F(x)=2x^3-2x^2+7x+\frac{1}{x}.\]

Вычислим значения на концах отрезка:

\[F(3)=2\cdot3^3-2\cdot3^2+7\cdot3+\frac{1}{3}=54-18+21+\frac{1}{3}=\frac{172}{3},\]

\[F(2)=2\cdot2^3-2\cdot2^2+7\cdot2+\frac{1}{2}=16-8+14+\frac{1}{2}=\frac{45}{2}.\]

По формуле Ньютона—Лейбница:

\[\int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx=F(3)-F(2)=\frac{172}{3}-\frac{45}{2}=\frac{209}{6}.\]

Ответ: $\frac{209}{6}$.

в) \(\displaystyle\int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx\)