В) Докажите, что △ABC — равнобедренный. 1) На рисунке D — вершина большого треугольника, B лежит на его внутреннем отрезке; отмечены равные стороны от D и равные углы при D. 2) На рисунке AD = DC, ∠DAB = ∠ACB; проведены AC и DB. Докажите, что △ABC — равнобедренный. 3) На рисунке A, M, N, C лежат на одной прямой; отмечены AM = NC и BM = BN. Докажите, что △ABC — равнобедренный.

1) По засечкам AD = DC, поэтому △ADC равнобедренный и его углы при основании равны: ∠DAC = ∠ACD. Луч DB делит угол ADC пополам, то есть ∠ADB = ∠BDC. Следовательно, △ADB и △CDB равны по двум сторонам и углу между ними: AD = DC, DB — общая сторона, ∠ADB = ∠BDC. Отсюда AB = BC, значит, △ABC равнобедренный.

2) Из AD = DC следует, что △ADC равнобедренный, поэтому ∠DAC = ∠ACD. По отметкам ∠DAB = ∠ACB. При этом ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB, а ∠ACB = ∠ACD + ∠BCA. Вычитая равные углы ∠DAC и ∠ACD из равных углов, получаем ∠CAB = ∠BCA. В △ABC против равных углов лежат равные стороны: AB = BC. Следовательно, △ABC равнобедренный.

3) Так как A, M, N, C расположены на одной прямой, ∠BAM = ∠BAC и ∠BCN = ∠BCA. Из AM = NC и BM = BN следует, что △BMN равнобедренный, поэтому ∠BMN = ∠BNM. Поскольку лучи MA и MN противоположны, как и лучи NM и NC, получаем ∠AMB = 180° − ∠BMN и ∠BNC = 180° − ∠BNM, значит, ∠AMB = ∠BNC. В треугольниках ABM и CBN равны AM и CN, BM и BN, а углы между этими сторонами равны. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = BC. Следовательно, △ABC равнобедренный.