В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в квартирах с 9-й по 19-ю включительно живёт суммарно 29 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Question

Вопрос:

В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в квартирах с 9-й по 19-ю включительно живёт суммарно 29 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Пусть \( x_i \) — количество человек в \( i \)-й квартире.

Всего в доме 19 квартир.

Из условия задачи известно:

\( 1 ≤ x_i ≤ 3 \) для всех \( i \) от 1 до 19.
Сумма людей в квартирах с 1-й по 12-ю: \( ∑_{i=1}^{12} x_i = 16 \).
Сумма людей в квартирах с 9-й по 19-ю: \( ∑_{i=9}^{19} x_i = 29 \).

Составим систему уравнений, чтобы найти общее количество человек.

Общее количество человек в доме — это сумма людей во всех квартирах: \( S = ∑_{i=1}^{19} x_i \).

Можно разбить сумму на части:

∑_{i=1}^{19} x_i = ∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i

Из условий мы знаем:

∑_{i=1}^{12} x_i = ∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i = 16

∑_{i=9}^{19} x_i = ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i = 29

Сложим два известных уравнения:

\( (∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i) + (∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i) = 16 + 29 \)

\( ∑_{i=1}^{8} x_i + 2 ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i = 45 \)

Это можно переписать как:

\( (∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i) + ∑_{i=9}^{12} x_i = 45 \)

\( S + ∑_{i=9}^{12} x_i = 45 \)

Теперь нам нужно найти \( ∑_{i=9}^{12} x_i \). Это сумма людей в квартирах с 9-й по 12-ю. Квартиры с 9-й по 12-ю являются частью обоих известных нам диапазонов.

Количество квартир в диапазоне с 9-й по 12-ю: \( 12 - 9 + 1 = 4 \).

Так как в каждой квартире живёт от 1 до 3 человек, то сумма в этих 4 квартирах может быть:

Минимальная сумма: \( 4 \times 1 = 4 \)

Максимальная сумма: \( 4 \times 3 = 12 \)

\( 4 ≤ ∑_{i=9}^{12} x_i ≤ 12 \).

В задаче не указано точное количество человек в каждой квартире, но есть информация о суммарном количестве людей в двух пересекающихся группах квартир.

Рассмотрим квартиры, которые входят в оба условия: с 9-й по 12-ю. Их 4 квартиры.

Пусть \( A = ∑_{i=1}^{12} x_i = 16 \) (квартиры 1-12)

Пусть \( B = ∑_{i=9}^{19} x_i = 29 \) (квартиры 9-19)

Общая сумма \( S = ∑_{i=1}^{19} x_i \).

\( S = (∑_{i=1}^{8} x_i) + (∑_{i=9}^{12} x_i) + (∑_{i=13}^{19} x_i) \)

\( A = (∑_{i=1}^{8} x_i) + (∑_{i=9}^{12} x_i) \)

\( B = (∑_{i=9}^{12} x_i) + (∑_{i=13}^{19} x_i) \)

Сложим \( A \) и \( B \):

\( A + B = (∑_{i=1}^{8} x_i) + (∑_{i=9}^{12} x_i) + (∑_{i=9}^{12} x_i) + (∑_{i=13}^{19} x_i) \)

\( A + B = S + ∑_{i=9}^{12} x_i \)

\( 16 + 29 = S + ∑_{i=9}^{12} x_i \)

\( 45 = S + ∑_{i=9}^{12} x_i \)

Чтобы найти \( S \), нам нужно определить \( ∑_{i=9}^{12} x_i \).

Количество квартир с 9-й по 12-ю: 4.

Количество квартир с 1-й по 8-ю: 8.

Количество квартир с 13-й по 19-ю: 7.

Общее количество квартир: \( 8 + 4 + 7 = 19 \).

Заметим, что \( ∑_{i=1}^{19} x_i = ∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{19} x_i - ∑_{i=9}^{12} x_i \) — это неправильное представление, так как мы дважды вычитаем одну и ту же группу.

Правильно: \( ∑_{i=1}^{19} x_i = (∑_{i=1}^{12} x_i) + (∑_{i=13}^{19} x_i) \) или \( ∑_{i=1}^{19} x_i = (∑_{i=1}^{8} x_i) + (∑_{i=9}^{19} x_i) \).

Используя \( 45 = S + ∑_{i=9}^{12} x_i \), чтобы найти \( S \), нужно знать \( ∑_{i=9}^{12} x_i \).

Пусть \( X_{1-8} = ∑_{i=1}^{8} x_i \), \( X_{9-12} = ∑_{i=9}^{12} x_i \), \( X_{13-19} = ∑_{i=13}^{19} x_i \).

\( X_{1-8} + X_{9-12} = 16 \) (1)

\( X_{9-12} + X_{13-19} = 29 \) (2)

\( S = X_{1-8} + X_{9-12} + X_{13-19} \)

Из (1): \( X_{1-8} = 16 - X_{9-12} \).

Из (2): \( X_{13-19} = 29 - X_{9-12} \).

Подставим в \( S \):

\( S = (16 - X_{9-12}) + X_{9-12} + (29 - X_{9-12}) \)

\( S = 16 - X_{9-12} + X_{9-12} + 29 - X_{9-12} \)

\( S = 45 - X_{9-12} \).

Чтобы найти \( S \), нам нужно знать \( X_{9-12} \).

Количество квартир с 9 по 12 — 4. Максимальное количество человек в них \( 4 \times 3 = 12 \). Минимальное \( 4 \times 1 = 4 \).

Так как \( S = 45 - X_{9-12} \), и \( 4 ≤ X_{9-12} ≤ 12 \):

Если \( X_{9-12} = 4 \), то \( S = 45 - 4 = 41 \).

Если \( X_{9-12} = 12 \), то \( S = 45 - 12 = 33 \).

Значит, общее количество человек в доме может быть от 33 до 41.

Проверим, можно ли достигнуть таких значений.

Пример для S=33: \( X_{9-12} = 12 \) (по 3 человека в каждой из 4 квартир).

\( X_{1-8} = 16 - 12 = 4 \) (по 0.5 человека в каждой из 8 квартир - это невозможно, так как минимум 1 человек).

Пример для S=41: \( X_{9-12} = 4 \) (по 1 человеку в каждой из 4 квартир).

\( X_{1-8} = 16 - 4 = 12 \) (по 1.5 человека в каждой из 8 квартир - это невозможно).

Похоже, что информация о диапазоне (1-3 человека) важна.

Let's re-evaluate using the total number of apartments and the overlap.

Total apartments = 19.

Apartments 1-12 sum = 16.

Apartments 9-19 sum = 29.

The overlapping apartments are 9, 10, 11, 12. There are 4 such apartments.

Let \( S_{1-19} \) be the total number of people in all 19 apartments.

Let \( S_{1-12} = 16 \).

Let \( S_{9-19} = 29 \).

We know that \( S_{1-19} = S_{1-12} + S_{13-19} \).

Also, \( S_{1-19} = S_{1-8} + S_{9-19} \).

Adding these two equations:

\( 2 S_{1-19} = (S_{1-12} + S_{13-19}) + (S_{1-8} + S_{9-19}) \)

\( 2 S_{1-19} = S_{1-12} + S_{9-19} + S_{1-8} + S_{13-19} \)

\( 2 S_{1-19} = 16 + 29 + S_{1-8} + S_{13-19} \)

\( 2 S_{1-19} = 45 + S_{1-8} + S_{13-19} \)

This is not directly helpful.

Consider the sum of the two given sums:

\( S_{1-12} + S_{9-19} = (∑_{i=1}^{12} x_i) + (∑_{i=9}^{19} x_i) \)

This sum counts the people in apartments 1-8 once, people in apartments 9-12 twice, and people in apartments 13-19 once.

So, \( S_{1-12} + S_{9-19} = (∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i) + ∑_{i=9}^{12} x_i \)

\( 16 + 29 = S_{1-19} + ∑_{i=9}^{12} x_i \)

\( 45 = S_{1-19} + ∑_{i=9}^{12} x_i \).

We need to find \( ∑_{i=9}^{12} x_i \).

Number of apartments from 9 to 12 is 4.

Let \( N_{9-12} = ∑_{i=9}^{12} x_i \).

We know that \( 1 ≤ x_i ≤ 3 \).

Therefore, the minimum value of \( N_{9-12} \) is \( 4 \times 1 = 4 \).

The maximum value of \( N_{9-12} \) is \( 4 \times 3 = 12 \).

So, \( 4 ≤ N_{9-12} ≤ 12 \).

From \( 45 = S_{1-19} + N_{9-12} \), we get \( S_{1-19} = 45 - N_{9-12} \).

If \( N_{9-12} = 4 \), then \( S_{1-19} = 45 - 4 = 41 \).

If \( N_{9-12} = 12 \), then \( S_{1-19} = 45 - 12 = 33 \).

So the total number of people \( S_{1-19} \) is between 33 and 41.

Let's check if values of \( S_{1-19} \) can be achieved.

Consider the sum \( S_{1-12} = 16 \).

Number of apartments = 12. Average people per apartment = \( 16/12 ≈ 1.33 \).

Consider the sum \( S_{9-19} = 29 \).

Number of apartments = 11. Average people per apartment = \( 29/11 ≈ 2.64 \).

Let's try to see if the minimum or maximum total can be achieved.

Case 1: Assume \( N_{9-12} = 12 \) (i.e., 3 people in each of apartments 9, 10, 11, 12). This gives \( S_{1-19} = 33 \).

Then \( S_{1-12} = S_{1-8} + N_{9-12} \) => \( 16 = S_{1-8} + 12 \) => \( S_{1-8} = 4 \).

For \( S_{1-8} = 4 \), and 8 apartments, each apartment must have \( 4/8 = 0.5 \) people, which is impossible since there's at least 1 person per apartment.

Case 2: Assume \( N_{9-12} = 4 \) (i.e., 1 person in each of apartments 9, 10, 11, 12). This gives \( S_{1-19} = 41 \).

Then \( S_{9-19} = N_{9-12} + S_{13-19} \) => \( 29 = 4 + S_{13-19} \) => \( S_{13-19} = 25 \).

For \( S_{13-19} = 25 \), and 7 apartments, the average is \( 25/7 ≈ 3.57 \). This is impossible since max is 3.

Let's check the calculation \( 45 = S_{1-19} + ∑_{i=9}^{12} x_i \) again.

The sum of people in apartments 1-12 is 16.

The sum of people in apartments 9-19 is 29.

Total people \( S = ∑_{i=1}^{19} x_i \).

We can write \( S \) as the sum of people in apartments 1-8, 9-12, and 13-19.

\( S = ∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i \)

We are given:

\( ∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i = 16 \) (Eq. 1)

\( ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i = 29 \) (Eq. 2)

Add Eq. 1 and Eq. 2:

\( (∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i) + (∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i) = 16 + 29 \)

\( ∑_{i=1}^{8} x_i + 2 \times ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i = 45 \)

Rearrange this to get \( S \):

\( (∑_{i=1}^{8} x_i + ∑_{i=9}^{12} x_i + ∑_{i=13}^{19} x_i) + ∑_{i=9}^{12} x_i = 45 \)

\( S + ∑_{i=9}^{12} x_i = 45 \).

Let \( N_{9-12} = ∑_{i=9}^{12} x_i \). There are 4 apartments (9, 10, 11, 12). So \( 4 \times 1 ≤ N_{9-12} ≤ 4 \times 3 \), which means \( 4 ≤ N_{9-12} ≤ 12 \).

Then \( S = 45 - N_{9-12} \).

Now consider the constraints on \( S_{1-8} \) and \( S_{13-19} \).

From Eq. 1: \( S_{1-8} = 16 - N_{9-12} \). Number of apartments is 8. So \( 8 \times 1 ≤ 16 - N_{9-12} ≤ 8 \times 3 \).

\( 8 ≤ 16 - N_{9-12} ≤ 24 \).

This implies \( -8 ≤ -N_{9-12} ≤ 8 \), or \( -8 ≤ N_{9-12} ≤ 8 \).

Combining with \( 4 ≤ N_{9-12} ≤ 12 \), we get \( 4 ≤ N_{9-12} ≤ 8 \).

From Eq. 2: \( S_{13-19} = 29 - N_{9-12} \). Number of apartments is 7. So \( 7 \times 1 ≤ 29 - N_{9-12} ≤ 7 \times 3 \).

\( 7 ≤ 29 - N_{9-12} ≤ 21 \).

This implies \( -22 ≤ -N_{9-12} ≤ -8 \), or \( 8 ≤ N_{9-12} ≤ 22 \).

Combining with \( 4 ≤ N_{9-12} ≤ 12 \), we get \( 8 ≤ N_{9-12} ≤ 12 \).

For \( N_{9-12} \) to satisfy both constraints, it must be in the intersection of \( [4, 8] \) and \( [8, 12] \). The intersection is \( N_{9-12} = 8 \).

So, \( ∑_{i=9}^{12} x_i = 8 \).

Now we can find the total number of people \( S_{1-19} \).

\( S_{1-19} = 45 - N_{9-12} \)

\( S_{1-19} = 45 - 8 \)

\( S_{1-19} = 37 \).

Let's verify this result.

If \( N_{9-12} = 8 \) (sum of people in apartments 9-12 is 8, e.g., 2 people in each of the 4 apartments):

\( S_{1-8} = 16 - N_{9-12} = 16 - 8 = 8 \). (This means 1 person in each of the 8 apartments from 1 to 8, which is valid).

\( S_{13-19} = 29 - N_{9-12} = 29 - 8 = 21 \). (This means \( 21/7 = 3 \) people in each of the 7 apartments from 13 to 19, which is valid).

Total people \( S_{1-19} = S_{1-8} + N_{9-12} + S_{13-19} = 8 + 8 + 21 = 37 \).

The calculation is consistent.

The total number of people in the building is 37.

Ответ: 37